Regel von Bernoulli l'Hospital anwenden

Question

Wende die Regel von Bernoulli l'Hospital an.

(a) $$ \underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } { x }^{ -4 }\ln { (x) } $$

(b) $$ \underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } \left( \frac { 1 }{ sin(x) } -\frac { 1 }{ x }  \right) $$

(c) $$ \underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } x{ e }^{ -2x } $$

(d) $$ \underset { x\rightarrow \pi /2 }{ lim } \frac { x-\pi /2 }{ cos(x) }  $$

Answer 1

damit du die Regel von l'Hosptal anwenden kannst musst du deinen Funktion zuerst auf einen Bruch bringen, in dem Zähler und Nenner gegen denselben Grenzwert laufen. Betrachte das Beispiel a)

\( \lim \limits_{x \to \infty} x^{-4}\ln(x) \)

\( x^{-4} \to 0 \) während \( \ln(x) \to \infty\) für \(x \to \infty \)

Bringst du das Produkt jedoch auf die Folgende Form:

$$ x^{-4}\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^4} $$

Dann gehen Nenner und Zähler beide gegen unendlich und somit kannst du l'Hospital anwenden:

$$\lim \limits_{ x \to \infty} x^{-4}\ln(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^4} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{4x^3} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{4x^4} = 0 $$

Gruß

Comments

Yakyu muss in der letzen Zeile nicht lim_x->∞ 1/4x³ ? :)

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Nein, weil du den Kehrwert bildest.

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Nein Emre, da im Zähler 1/x steht wird ein x im Nenner multipliziert ;).

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ok, a) und c) habe ich verstanden, aber wie geht das bei b) und d)

dort habe ich ja den sin(x) bzw. cos(x) im Nenner, wie kann ich in eine form bringen, in der ich es gegen 0 (Teilaufgabe b) bzw. pi/2 (Teilaufgabe d) laufen lassen kann, ohne dass ich riskiere durch = zu teilen?

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bist du dir überhaupt sicher, dass bei b) \(x \to \infty \) geht und nicht \( x \to 0 \)? Kenne das nur in der Version.

in diesem Falle forme die Differenz in einen Bruch um (Hauptnenner etc.) dann siehst du, dass zähler und nenner gegen 0 gehen und kannst l'hopital anwenden

bei d) gehen bereits zähler und nenner gegen 0 also direkt l'Hopital

Gruß

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doch du hast recht, es geht gegen 0, tut mir leid ;)

ich habe jetzt für a) b) und c) jeweils = ausgerechnet und für d) -1 

kannst du das bestätigen?

x→0

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Ja das stimmt, wenn du mit "=" eigentlich 0 meinst (caps-lock :D).

Gruß

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Haha Danke vielmals,

ja bin etwas müde geworden im Velauf des Rechnens xD