lim n -> unendlich wurzel(e4n+en+3)-wurzel(e2n+3n+1)

Question

Hallo alle zusammen.

Brauche Hilfe mit meiner Aufgabe.

Aufgaben:

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } -\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 }$$

Meine Idee:

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { (\sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } -\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } )(\sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } ) }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { ({ e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3)-({ e }^{ 2n }+3n+1) }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } }$$

$$\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { { e }^{ 4n }+3n+2 }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } }$$

Soll ich dann alles durch e⁴ⁿ teilen?

Answer 1

√(e^4·n + e^(2·n) + 3) - √(e^2·n + 3ⁿ + 1)

= (√(e^4·n + e^(2·n) + 3) - √(e^2·n + 3ⁿ + 1))*(√(e^4·n + e^(2·n) + 3) + √(e^2·n + 3ⁿ + 1)) / (√(e^4·n + e^(2·n) + 3) + √(e^2·n + 3ⁿ + 1))

= ((e^4·n + e^(2·n) + 3) - (e^2·n + 3ⁿ + 1)) / (√(e^4·n + e^(2·n) + 3) + √(e^2·n + 3ⁿ + 1))

= (e^4·n - 3ⁿ + 2) / (√(e^4·n + e^(2·n) + 3) + √(e^2·n + 3ⁿ + 1))

Wenn wir jetzt nur mal die Potenzen beachten die am schnellsten gegen unendlich gehen hätten wir

e^4·n/(√(e^4·n) + √(e^2·n)) = e^4·n/(e^2·n + eⁿ) = e^2·n/(1 + 1/eⁿ)

Der Zähler wärst hier allerdings deutlich schneller weswegen der Grenzwert unendlich ist.