Sechseck mit parallelen gegenüberliegenden Seiten

Question

In einem Sechseck A,B,C,D,E,F sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleich lang.

Verbindet man die Punkte B, D und F, so entsteht innerhalb des Sechsecks das Dreieck B,D,F.

Ich soll zeigen, wie sich die Fläche dieses Dreiecks zur Fläche des Sechsecks verhält.

Leider finde ich gar keinen Ansatz.

Answer 1

Das 6-eck ist ja dann regelmäßig, Die Ecken liegen also alle auf einem Kreis um M
mit Radius r.
Verbinde nun noch F und D mit M. Dann entsteht eine Raute FMDE
mit Seitenlänge r mit dem Flächeninhalt  2* Dreiecksfläche FME also
A_Raute = 2 * 0,25*r^2 * √(3) = (1/2)*r^2*√(3)
andererseits gilt bei Rauten immer A = e*f/2 und die Diagonale e=EM ist ja gleich r.
also f = 2A/e  =  r^2*√(3) / r   = r* √(3) .
Das Dreieck FDB ist gleichseitig und die Seite FD ist also r*√(3),
also Fläche (1/4)*√(3)* (r*√(3))^2 = (3/4)*√(3)*r^2
und das 6_eck   6*(1/4)*√(3)*r^2  =(3/2)*√(3)*r^2

Also Verhältnis 1:2.

Sehe gerade, dass dies auch einfacher zu bestimmen war:
Wenn man statt der einen Raute, alle drei Rauten betrachtet,
in die das 6-eck zerlegt wird, hat man je eine halbe Raute im
Dreieck FBD und eine halbe außerhalb, also Verhältnis 1:2

Comments

Das Sechseck ist leider nicht regelmäßig - nur die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel.

Die Eckpunkte liegen nicht auf einem Kreis um M.

Mittlerweile habe ich herausgefunden, dass die Fläche des Dreiecks tatsächlich halb so groß ist, wie die Fläche des Sechsecks.

Nur die Beweisführung gelingt mir immer noch nicht. Hat niemand eine Idee?