Umkehrfunktion zu einer Abbildung über eine Summe

Question

Sei \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \).

Zeige, dass die Abbildung \( f_{n}:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) ; x \mapsto \sum \limits_{j=1}^{n} x^{j} \) stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist.

Zeige, dass dasselbe für die Umkehrfunktion \( g_{n}:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) \) gilt.

Answer 1

f_n(x) = x  +  x^2   + x^3  +  x^4 + ........  +   x^n
ist eine ganzrationale Funktion, also stetig.

f ' _n (x) = 1  +  2x  +  3x^2   +  ..................  n*x^n
also f ' _n (x) > 0 für alle x>0, also f streng monoton wachsend,
deshalb auch injektiv und
da f(0)= 0 und lim für n gegen unendlich gleich unendlich
auch surjektiv.

Ich meine monotonie und stetigkeit unf bijektivität übertragen sich immer
auf die Umkehrfunktion .