Zeigen Sie, dass f −1 (x) = 1 2 ln 1+x 1−x die Umkehrfunktion ist....

Question

Aufgabe:

Es sei $f : D \rightarrow W, x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$. Skizzieren Sie den Funktionsgraph und geben Sie (mit Begründung) möglichst große Mengen $D, W \subset \mathbb{R}$, so dass $f$ umkehrbar ist. Zeigen Sie, dass $f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ die Umkehrfunktion ist. Geben Sie auch für $f^{-1}$ den Definitions- und Wertebereich an.

Ansatz:

Ich weiß, dass die Funktion umkehrbar ist im Interwall D[-2;2] und W[-1;1], jedoch wüsste ich gerne wie ich beweise dass das der Umkehrfunktion ist.

Comments

Damit du weisst, unter welchem Stichwort man suchen könnte:

https://de.wikipedia.org/wiki/Areatangens_hyperbolicus_und_Areakotan… 

Answer 1

Bei der Funktion f ( x ) sehe ich keine Einschränkung
des Def-Bereichs
D = ℝ
lim x −> ∞ = 1
lim x −> - ∞ = - 1
W = ] -1 ; 1 [

ich habe die Umkehrfunktion f ^-1 umgekehrt
um zu sehen ob wieder f herauskommt

Dem ist so.
Beim Def Bereich von f ^-1 ist nachzusehen
das der Wert im ln > 0 ist.

Comments

Dankeschön, wüsste aber gerne wie Sie bei der Umkehrfunktion auf die Wurzel kommen?^^

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Allgemein
1/2 * ln ( a )
ln ( a ^1/2 )
ln ( √ a )

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lim x −> ∞ = 1 
lim x −> - ∞ = - 1 

??
W = ] -1 ; 1 [

Das ist doch nur so, weil f streng monoton steigend ist  (f'(x) > 0 über ℝ)