Menge der Matrix zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( M^{2 \times 2}(Z) \) die Teilmenge der Matrizen in \( M^{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) mit ganzzahligen Einträgen.

Zeigen Sie, dass die Mengen der Matrizen

\( \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}):=\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M^{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid a d-b c \neq 0\right\} \)

und

\( S L_{2}(Z):=\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M^{2 \times 2}(\mathbf{Z}) \mid a d-b c=1\right\} \)

mit Multiplikation als Verknüpfung jeweils eine Gruppe sind.

Answer 1

Musst du alle Gruppenaxiome überprüfen
1. Abgeschlossenheit :  Multiplikation zweier Matrizen aus dieser
             Menge gibt wieder eine aus dieser Menge
(Musst du allgemein nachrechnen.)

2. assoziativ :  ist klar, weil Matrizenmultiplikation immer assoziativ
3  neutrales Element ist     1   0
                                           0   1
und das gehört zu dieser Menge, weil die Bedingung

ac-bd ungleich 0 erfüllt ist, nämlich 1*1-o*o=1 ungleich 0

4. Zu jeder Matrix existiert in dieser Menge eine inverse nämlich

d/D                   -b/D

-c/D                  a/D      

dabei ist D genau dieser Term, der ungleich Null sein soll.

Also kann man immer die Inverse in dieser Menge finden,

da die Nenner nie Null sind.