Menge mit exklusiven Oder (xor) eine Gruppe?

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Menge

U = {0, 3, 6, 9} = { x ∈ ℤ₁₂ : x Ξ 3n  (mod 12) für ein n ∈ ℕ)

mit der Verknüpfung ⊕12 eine Gruppe ist. Offensichtlich gilt:

U ⊂ ℤ₁₂ = {0, 1, 2,....,10, 11}

und du darfst voraussetzen, dass (ℤ₁₂, ⊕₁₂ ) eine Gruppe ist.

(Erinnerung: Es ist a ⊕₁₂ b = Rest (a + b, 12) für zwei Zahlen a, b ∈ ℤ.)

Problem/Ansatz:

Damit die Menge U mit der Verknüpfung xor 12 eine Gruppe ist, muss gelten Assozivität, Abgeschlossenheit, Neutrales Element und Inverses Eelement.

Erstmal versteh ich nicht, was genau jetzt in U liegt. Da steht U = {0,3,6,9.} Aber gleichzeitig ist U eine Teilmenge von Z₁₂. Also ist U jetzt {0,3,6,} oder {0,1,2,....10,11}?

Assozivität: Na, ob ich jetzt 3 mit 6 über xor verknüpfe oder 6 mit 3 ist relativ wumpe

Abgeschlossenheit: Egal welche Zahl man ver"xor"t, man befindet sich immer noch im Z₁₂.

Neutrales Element: Wäre die 0. Obwohl....? Wenn ich jetzt sage: "Alles außer 3 oder 0", ist die 0 ja kein neutrales Element, bzw. kann es bei einem exklusiven Oder ja kein Element geben, dass ich weglassen darf. Sonst verändert sich die Bedeutung von xor ja komplett.

Inverse Element. Keine Ahnung, bei dem Fall.

Comments

Zwischen Überschrift und Aufgabe sehe ich keinen Zusammenhang.

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Bei uns steht dieses Symbol "⊕" für xor, das "exklusive Oder". z.B. bei zwei Mengen A und B ist XOR A ⊕ B alles was nur in A vorkommt und alles was nur in B vorkommt. 

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(Erinnerung: Es ist a ⊕12 b = Rest (a + b, 12) für zwei Zahlen a, b ∈ ℤ.)

Answer 1

Wie kommst du auf xor ?   Da steht doch die Restklassenaddition mod 12:

(ℤ₁₂, ⊕₁₂ )   und es ist U =  {0, 3, 6, 9}

Assoziativität ist erfüllt, weil es schon in Z₁₂ gilt.

Abgeschlossenheit auch; denn wenn du zwei aus U verknüpfst,

ergibt sich wieder eines aus U, z.B.   6⊕₁₂ 9 = Rest von 6+9 Modulo 12 = 15 mod 12 = 3.

etc.

neutrales El. ist 0 und die Inversen sind

zu 0  die 0

zu 3  die 9

zu 6  die 6

zu 9 die 3.