0 Daumen
2,2k Aufrufe

Weiss jemand wie man folgendes Integral berechnet:

 ∫ 1/ (a2 sin x 2 + b2 cos x 2 ) dx

0π/2dϕa2sin(ϕ)2+b2cos(ϕ)2 \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { d\phi }{ { a }^{ 2 }{ sin( }\phi )^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ cos(\phi ) }^{ 2 } } }   a, b > 0


Ich komme weder mit Substituieren, noch mit einer partiellen Integration auf einen grünen Zweig...

Avatar von
Tipp: Substituiere z=tanϕz=\tan \phi.
Die Lösung müsste sein:

0π/2dϕa2sin(ϕ)2+b2cos(ϕ)2 \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { d\phi }{ { a }^{ 2 }{ sin( }\phi )^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ cos(\phi ) }^{ 2 } } }


=[arctan(atan(ϕ)b)ab]=[ \frac { arctan(\frac { a*tan(\phi) }{ b } )}{ ab } ]




Vielen Dank für die Antwort, aber kannst du mir sagen, wie das genau geht mit dem tangens bzw. arctan?

ich sehe nicht, wie ich dass umformen muss um so substituieren zu können? :/

1 Antwort

0 Daumen
Klammere cos2ϕ\cos^2\phi im Nenner aus und substituiere z=tanϕ.z=\tan\phi.
Dann ist dzdϕ=1cos2ϕ\dfrac{\mathbb dz}{\mathbb d\phi}=\dfrac1{\cos^2\phi} unddϕa2sin2ϕ+b2cos2ϕ=dϕcos2ϕ(a2tan2ϕ+b2)=dza2z2+b2.\int\frac{\mathbb d\phi}{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}=\int\frac{\mathbb d\phi}{\cos^2\phi\left(a^2\tan^2\phi+b^2\right)}=\int\frac{\mathbb dz}{a^2z^2+b^2}.
Avatar von
Wenn ich nun die Integrationsgrenzen anpasse, komme ich ja auf 0 bis tan(pi/2). Aber tan(pi/2) ist ja nicht definiert?

Wie integriere ich das nun?
Bestimme zunächst das Integral in Abhängigkeit der oberen Grenze tt und bilde dann den Grenzwert für tt\to\infty.

Wennich das zu integrieren versuche, komme ich auf:

1a2t+b2t+Cwobeit=tan(π2) -\frac { 1 }{ { a }^{ 2 }t+{ b }^{ 2 }t } +C\quad wobei\quad t=tan(\frac { \pi }{ 2 } )


Stimmt das? und fall ja, was muss ich jetzt noch machen?

dza2z2+b2=1abarctanazb+C.\int\frac{\mathbb dz}{a^2z^2+b^2}=\frac1{ab}\arctan\frac{az}b+C.
Welche Regel muss man anwenden, dass man hier auf arctan kommt?
Sei f(x)=arctanxf(x)=\arctan x. Dann ist tanf(x)=x.\tan f(x)=x. Ableiten liefert(1+tan2f(x))f(x)=1f(x)=11+x2.\left(1+\tan^2f(x)\right)\cdot f'(x)= 1\Rightarrow f'(x)=\frac1 {1+x^2}.
Wenn ich nun die beiden Integrationsgrenzen einsetze, komme ich auf
arctan(πa2b)ab \frac { arctan(\frac { \pi a }{ 2b } ) }{ ab }

Könnte das jemand bestätigen?

Ich komme auf π2ab\frac{\pi}{2ab}.

Könntest du das eventuell vorrechnen?

Ich sehe meinen Fehler echt nicht :/

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage