Vektorräume, Primzahl, V ≠ 0 ein ℚ-Vektorraum.

Question

Sei V ≠ 0 ein ℚ-Vektorraum. Ist es möglich, dass die zugrundeliegende abelsche Gruppe V zugleich die Struktur eines F_p-Vektorraumes für eine Primzahl p > 0 trägt? 
Gibt es Beispiele, bei denen V die Struktur eines ℂ-Vektorraumes besitzt?

Wie sollte man die Aufgabe lösen? Ich habe leider noch keine Ansätze...

Comments

ich glaube nicht dass das mit den Fp geht, weil in Q hast du immer auch p und 1/p

p*1/p =1, aber da p=0 in Fp hat man 0=1 und das ist ein Widerspruch

Answer 1

ja, das ist möglich. Man projiziert kanonisch von \( \mathbb{Q} \) nach \( \mathbb{F}_p \):

\( \phi(pq^{-1}) = \phi(p)\phi(q^{-1}) = [p][q^{-1}] = [pq^{-1}] \).

Die Wohldefiniertheit auf \( \mathbb{Q} \) kann in trivialer Weise durch Einbauen einer konstruktiven Eins gezeigt werden:

\( pq^{-1} = apa^{-1}q^{-1} = \dots \).

Im Bildbereich entsteht wieder die Eins.

MfG

Mister