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Gleichungssystem mit 3 Gleichungen lösen:

3x - 2y + 5z = 13
-x + 3y + 4z = -1
5x + 6y - z = 3

Bestimme die Lösungsmenge.

Niveau: 8. Klasse

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(I) 3x - 2y + 5z = 13
(II) -x + 3y + 4z = -1
(III) 5x + 6y - z = 3

Ich verwende das Einsetzungsverfahren, dazu löse ich eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diese in die anderen beiden Gleichungen ein. Dann habe ich nur noch 2 Gleichungen und wiederhole das erneut, dann habe ich nur noch eine Gleichung:

(II)' x=3y+4z+1

 

x=3y+4z+1 in (I) einsetzen:

(I)' 3*(3y+4z+1)-2y+5z=13

9y+12z+3-2y+5z=13

7y+17z=10

y=10/7-17z/7

 

x=3y+4z+1 in (III) einsetzen:

(III)' 5*(3y+4z+1)+6y-z=3

15y+20z+5+6y-z=3

21y+19z=-2

 

y=10/7-17z/7 nun in (III)' einsetzen:

(III)'' 21*(10/7-17z/7)+19z=-2

3*(10-17z)+19z=-2

30-51z+19z=-2

-32z=-32

z=1

 

z=1 in (III)' einsetzen:

21y+19=-2

y=-1

 

z=1 und y=-1 in (II)' einsetzen:

x=3*(-1)+4*(1)+1

x=-3+4+1

x=2

Die Lösungen sind also x=2, y=-1 und z=1.

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