Analysis: Funktionsschar mit k ∈ R: fk(x) = (2x+k)*e^-x

Question

Ich bin gerade dabei mich auf eine Kursarbeit im Mathe LK vorzubereiten, der Themenblock Analysis ist meine große Schwäche, und so habe ich gerade ein Problem mit einer Aufgabe die eine Funktionsschar beinhaltet.

Gegeben ist die Funktionsschar mit k ∈ R: f_k(x) = (2x+k)*e^-x

Meine Aufgabe ist es zu zeigen dass die Graphen dieser Schar genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse, einen Hochpunkt und eine Wendestelle hat. 

Dazu hatte ich folgende Gedanken: Wenn man für den Schnittpunkt mit der x-Achse die Funktion =0 setzt, müsste k verschwinden sodass k keinen Einfluss mehr auf die Nullstelle hat. Gerechnet hab ich wiefolgt:

 0 = (2x+k)*e^-x  / :e^-x

 0= 2x+k           /-k

k = 2x            / :2

1/2k = x

Ganz sicher bin ich mir bei dieser Rechnung nicht, da k immernoch vorliegt. Ist mein Gedanke richtig gewesen oder muss ich an diese Aufgabe ganz anders heran gehen?

Dasselbe Problem habe ich mit dem Hochpunkt, aber ich denke wenn mein Problem hier gelöst ich kann ich den Rest hoffentlich mit der Erkenntnis auch lösen.

Answer 1

f_k ( x ) = ( 2x +k ) *e ^-x

Meine Aufgabe ist es zu zeigen dass die Graphen dieser Schar genau einen
Schnittpunkt mit der x-Achse, einen Hochpunkt und eine Wendestelle hat. 

Ich glaube du sollst zeigen das jede Funktion genau einen
Schnittpunkt mit der x-Achse, einen Hochpunkt und eine Wendestelle hat. 
Nicht alle die gleiche.

Für die Nullstelle hast du das schon gezeigt.
N ( k/2 | 0 )

f ´( x ) = 2 * e^{-x} + ( 2x + k ) * e^{-x} * (-1)
f ´( x ) = e^{-x} * ( 2 - 2x - k )
e^{-x} * ( 2 - 2x - k ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
2 - 2x - k = 0
2x = 2 - k
x = 1 - k/2
f ( 1 - k/2 ) = ( 2 * (1 - k/2 ) + k ) * e^{-[1-k/2]}
f ( 1 - k/2 ) = ( 2  - 2*k/2  + k ) * e^{-x} = 2 * e^{k/2-1}

f ´´ ( x ) = e^{-x} * (-1) * ( 2 - 2x - k ) + e^{-x} * ( -2 )
f ´´ ( x ) = e^{-x} * (2x + k - 2 -2 )
f ´´ ( x ) = e^{-x} * (2x + k - 4 )

Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´ ( 1 - k/2 ) = e^{-[1-k/2]} * ( 2 * ( 1 - k/2 )+ k - 4 )
f ´´ ( 1 - k/2 ) = e^{-[1-k/2]} * ( 2 - k + k - 4 )
f ´´ ( 1 - k/2 ) = e^{-[1-k/2]} * ( 2 - 4 )  stets negativ : Hochpunkt

H ( 1 - k/2 | 2 * e^{k/2-1} )

Wendepunkt

e^{-x} * (2x + k - 4 ) = 0
2x + k - 4 = 0
x = 2 - k/2

f( 2 - k/2 ) = 4 * e^{k/2-2}

W ( 2 - k/2  | 4 * e^{k/2-2} )

Jede Funktion hat genau eine Nullstelle, einen Hochpunkt und eine Wendestelle.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! 

Ich merkte gerade auch dass ich die Aufgabenstellung misinterpretiert habe, wie schnell das doch passiert. Mir ist auch ein Vorzeichenfehler in der Rechnung in meiner Frage aufgefallen, habe ich in meinen Rechnungen hier auf dem Papier jedoch nicht. 

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Ich hoffe meine Antwort hilft dir trotzdem weiter.

Answer 2

hast du genau richtig gemacht; denn durch
e^{-x} kannst du dividieren, da es nie null ist.