Gruppenisomorphismen und Restklassen

Question

Sei G = (G, ∗, e) eine Gruppe mit genau 4 Elementen. Zeigen Sie:

(a)  Angenommen, jedes Element g ∈ G erfüllt g ∗ g = e. Dann gibt es einen 

       Gruppenisomorphismus ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ∼→G.

 (b)  Angenommen, es gibt ein Element f ∈ G mit f ∗ f ≠ e. Dann gibt es einen 

        Gruppenisomorphismus ℤ/4ℤ∼→ G.

  (c)  Es gibt keinen Gruppenisomorphismus ℤ/4ℤ ∼→ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ

Answer 1

Sei G = (G, ∗, e) eine Gruppe mit genau 4 Elementen. Zeigen Sie:

(a)  Angenommen, jedes Element g ∈ G erfüllt g ∗ g = e. Dann gibt es einen 

       Gruppenisomorphismus ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ∼→G.

Die Gruppenelemente seien e , g1, g2, g3

Dann sieht wegen des neutraklen Elementes und

der Vorgabe der Selstinversen die Gruppentafel so aus  

                             e    g1     g2      g3

                 e         e     g1    g2    g3

                g1       g1     e

                g2       g2              e

               g3        g3                          e

Der Rest ist auch ziemlich klar g1*g2 kann weder g1 noch g2 sein

(dann wäre der jeweils andere gleich dem neutralen Element,

also ist das g3 und entsprechend g1 * g3 = g2 etc

Also ist die Gruppentafel:

                             e    g1     g2      g3

                 e         e     g1    g2     g3

                g1       g1     e    g3    g2

                g2       g2   g3      e     g1

               g3        g3    g2      g1    e

Die Gruppentafel für ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ist entsprechend

                  (0/0)   (1/0)     (0/1)       (1/1)

(0/0)         (0/0)   (1/0)     (0/1)       (1/1)

(1/0)         (1/0)   (0/0)     (1/1)       (0/1)

(0/1)        (0/1)   (1/1)     (0/0)       (1/0)

(1/1)        (1/1)   (0/1)     (1/0)       (0/0)

Dann hast du auch den Isomorphismus

f :     (0/0) ---> e

       (1/0)  → g1

      (0/1) → g2

     (1/1) → g3

offenbar bijektiv und die Eigenschaft f ( (a/b) + (c/d) ) = f(a/b) * f(c/d) 

folgt aus der entsprechenden Übereintimmung der Gruppentafeln.

b)   sei z.B g1*g1 ungleich e

Dann sieht der Versuch die Gruppentafel aufzustellen so aus:

                             e    g1     g2      g3

                 e         e     g1    g2    g3

                g1       g1    

                g2       g2             

               g3        g3                          

g1*g1 ungleich e, bliebe also g2 oder g3

also z.B. g2    (Bei der anderen Wahl würden

sich nur die Rollen von g2 und g3 vertauschen

                             e    g1     g2      g3

                 e         e     g1    g2    g3

                g1       g1     g2 

                g2       g2             

               g3        g3      

Wäre  g1*g2 = e dann bliebe für g1*g3 nur = g3 übrig im

Widerspruch zu (s.o. g1 ungleich e.=

also  g1*g2 = g3

Da g1 aber ein Inverses haben muss ist g1*g3=e

und ähnlich ergibt sich der Rest

                             e    g1     g2      g3

                 e         e     g1    g2    g3

                g1       g1    g2    g3     e

                g2       g2    g3     e      g1

               g3        g3     e     g1    g2

also Isomorphismus 

    0 --->   e

   1 → g1 etc.

                 

Comments

zu Teil c) (Hatte ich vorhin vergessen:

Durch einen Gruppenisomorphismus wird jedes zu sich selbst inverse Element

auf ein solches abgebildet und umgekehrt; denn sei g zu sich selbst invers also g*g=e

dann ist f(g)*f(g) = f(g*g)  wegen homomorphismus

                             = f(e)              da g*g=e

                               =E (neutrales Element der anderen Gruppe

also ist f(g) auch zu sich selbst invers

In   ℤ/4ℤ  gibt es aber nur 0 und 2 als selbstinverse Elemente, während 

in ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ   alle 4 selbstinvers sind, und da ein Gruppenisomorphismus

ja bijektiv ist, müssten die nicht selbstinverse auf selbstinverse

abgebildet werden, was nicht möglich ist

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vielen dank für die ausführliche antwort!