+2 Daumen
294 Aufrufe

Sei G = (G, ∗, e) eine Gruppe mit genau 4 Elementen. Zeigen Sie:

(a)  Angenommen, jedes Element g ∈ G erfüllt g ∗ g = e. Dann gibt es einen

Gruppenisomorphismus ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ∼→G.

 (b)  Angenommen, es gibt ein Element f ∈ G mit f ∗ f ≠ e. Dann gibt es einen

Gruppenisomorphismus ℤ/4ℤ∼→ G.

(c)  Es gibt keinen Gruppenisomorphismus ℤ/4ℤ ∼→ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ

von

1 Antwort

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Sei G = (G, ∗, e) eine Gruppe mit genau 4 Elementen. Zeigen Sie:

(a)  Angenommen, jedes Element g ∈ G erfüllt g ∗ g = e. Dann gibt es einen

Gruppenisomorphismus ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ∼→G.

Die Gruppenelemente seien e , g1, g2, g3

Dann sieht wegen des neutraklen Elementes und

der Vorgabe der Selstinversen die Gruppentafel so aus


                             e    g1     g2      g3

e         e     g1    g2    g3

g1       g1     e

g2       g2              e

g3        g3                          e

Der Rest ist auch ziemlich klar g1*g2 kann weder g1 noch g2 sein

(dann wäre der jeweils andere gleich dem neutralen Element,

also ist das g3 und entsprechend g1 * g3 = g2 etc

Also ist die Gruppentafel:

e    g1     g2      g3

e         e     g1    g2     g3

g1       g1     e    g3    g2

g2       g2   g3      e     g1

g3        g3    g2      g1    e

Die Gruppentafel für ℤ/2ℤ× ℤ/2ℤ  ist entsprechend

(0/0)   (1/0)     (0/1)       (1/1)

(0/0)         (0/0)   (1/0)     (0/1)       (1/1)

(1/0)         (1/0)   (0/0)     (1/1)       (0/1)

(0/1)        (0/1)   (1/1)     (0/0)       (1/0)

(1/1)        (1/1)   (0/1)     (1/0)       (0/0)

Dann hast du auch den Isomorphismus

f :     (0/0) ---> e

(1/0)  → g1

(0/1) → g2

(1/1) → g3

offenbar bijektiv und die Eigenschaft f ( (a/b) + (c/d) ) = f(a/b) * f(c/d)

folgt aus der entsprechenden Übereintimmung der Gruppentafeln.

b)   sei z.B g1*g1 ungleich e

Dann sieht der Versuch die Gruppentafel aufzustellen so aus:


e    g1     g2      g3

e         e     g1    g2    g3

g1       g1

g2       g2

g3        g3

g1*g1 ungleich e, bliebe also g2 oder g3

also z.B. g2    (Bei der anderen Wahl würden

sich nur die Rollen von g2 und g3 vertauschen


e    g1     g2      g3

e         e     g1    g2    g3

g1       g1     g2

g2       g2

g3        g3

Wäre  g1*g2 = e dann bliebe für g1*g3 nur = g3 übrig im

Widerspruch zu (s.o. g1 ungleich e.=

also  g1*g2 = g3

Da g1 aber ein Inverses haben muss ist g1*g3=e

und ähnlich ergibt sich der Rest


e    g1     g2      g3

e         e     g1    g2    g3

g1       g1    g2    g3     e

g2       g2    g3     e      g1

g3        g3     e     g1    g2

also Isomorphismus

0 --->   e

1 → g1 etc.



von 152 k

zu Teil c) (Hatte ich vorhin vergessen:


Durch einen Gruppenisomorphismus wird jedes zu sich selbst inverse Element

auf ein solches abgebildet und umgekehrt; denn sei g zu sich selbst invers also g*g=e

dann ist f(g)*f(g) = f(g*g)  wegen homomorphismus

= f(e)              da g*g=e

=E (neutrales Element der anderen Gruppe

also ist f(g) auch zu sich selbst invers

In   ℤ/4ℤ  gibt es aber nur 0 und 2 als selbstinverse Elemente, während

in ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ   alle 4 selbstinvers sind, und da ein Gruppenisomorphismus

ja bijektiv ist, müssten die nicht selbstinverse auf selbstinverse

abgebildet werden, was nicht möglich ist

vielen dank für die ausführliche antwort!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...