Diese Summen sind zu vereinfachen: Σ q^{i} Σ q^{i - 1}

Question

Diese Summen sind zu vereinfachen:

\( \sum \limits_{i=0}^{n} q^{i} \sum \limits_{i=0}^{n+1} q^{i-1} \)

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

∑ (i = 0 bis n) q^i = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)

∑ (i = 0 bis n + 1) q^{i - 1} = ∑ (i = -1 bis n) q^i = q^{-1} + (q^{n + 1} - 1)/(q - 1) = (q^{n + 2} - 1)/(q·(q - 1))

Answer 2

innere Summe der 1. Summand ist q^-1 und dann
kommt  geometrische Reihe von q^0 bis q^n das ist (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1)
also innen   q^-1 + (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1)
Also bleibt Summe von i=0 bis n über qî *(q^-1 + (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1) )
ausgerechnet gibt das in der Summe

q^n /(q-1)   -  q^i-1 /(q-1)

Daraus 2 Summen mit minus dazwischen:

Das vordere hängt gar nicht von i ab, sind also
n+1 gleiche Summanden und gibt   (n+1)*q^n /(q-1)

aus der hinteren Summe klammerst du 1/(q-1) aus
und hast dann noch q^-1    +  die geometrische Reihe von
1 bis q^n  also   (q_n+1  -  1 ) / (q-1)

also insgesamt:   (n+1)*q^n /(q-1)  -  (  q^-1    +    (q_n+1  -  1 ) / (q-1)  )