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Ein Kapital von 20000 Euro wird mit einem Zinssatz von 5% jährlich verzinst.

a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche Entwicklung des Kapitals beschreibt.

b) Bestimmen Sie das Kapital nach 1; 2; 5; und 20 Jahren.

c) Vor wie vielen Jahren betrug das Kapital bei gleichem Zinssatz 15000 Euro ?

d) In welchem Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000 Euro zu ?

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Ein Kapital von 20000 Euro wird mit einem Zinssatz von 5​% (= 0.05) jährlich verzinst.

a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche Entwicklung des Kapitals beschreibt.

f(x) = 20000 * (1 + 0.05)^x = 20000 * 1.05^x
mit x als die Anzahl in Jahren nach Beobachtungsbeginn

b) Bestimmen Sie das Kapital nach 125; und 20 Jahren.

f(1) = 21000 Euro
f(2) = 22050 Euro
f(5) = 25525.63 Euro
f(20) = 53065.95 Euro

c) Vor wie vielen Jahren betrug das Kapital bei gleichem Zinssatz 15000 Euro ?

f(x) = 15000
20000 * 1.05^x = 15000
x = ln(15000/20000) / ln(1.05) = -5.896

Vor 6 Jahren hatten wir etwas weniger als 15000 Euro.

d) In welchem Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000 Euro zu ?

f(x+1) - f(x) = 5000
20000 * 1.05^{x+1} - 20000 * 1.05^x = 5000
20000 * (1.05^{x+1} - 1.05^x) = 5000


1.05^{x+1} - 1.05^x = 1/4
1.05 * 1.05^x - 1.05^x = 1/4
1.05^x * (1.05 - 1) = 1/4
1.05^x = 1/4/0.05 = 5
x = ln(5) / ln(1.05) = 32.99

Oder 

f'(x) = 5000
20000 * ln(1.05) * 1.05^x = 5000
x = ln(5000/20000 / ln(1.05)) / ln(1.05) = 33.49

Also im 33 Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000 Euro zu.

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