Ein Kapital von 20000 Euro wird mit einem Zinssatz von 5% (= 0.05) jährlich verzinst.
a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche Entwicklung des Kapitals beschreibt.
f(x) = 20000 * (1 + 0.05)^x = 20000 * 1.05^x
mit x als die Anzahl in Jahren nach Beobachtungsbeginn
b) Bestimmen Sie das Kapital nach 1; 2; 5; und 20 Jahren.
f(1) = 21000 Euro
f(2) = 22050 Euro
f(5) = 25525.63 Euro
f(20) = 53065.95 Euro
c) Vor wie vielen Jahren betrug das Kapital bei gleichem Zinssatz 15000 Euro ?
f(x) = 15000
20000 * 1.05^x = 15000
x = ln(15000/20000) / ln(1.05) = -5.896
Vor 6 Jahren hatten wir etwas weniger als 15000 Euro.
d) In welchem Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000 Euro zu ?
f(x+1) - f(x) = 5000
20000 * 1.05^{x+1} - 20000 * 1.05^x = 5000
20000 * (1.05^{x+1} - 1.05^x) = 5000
1.05^{x+1} - 1.05^x = 1/4
1.05 * 1.05^x - 1.05^x = 1/4
1.05^x * (1.05 - 1) = 1/4
1.05^x = 1/4/0.05 = 5
x = ln(5) / ln(1.05) = 32.99
Oder
f'(x) = 5000
20000 * ln(1.05) * 1.05^x = 5000
x = ln(5000/20000 / ln(1.05)) / ln(1.05) = 33.49
Also im 33 Jahr nimmt das Kapital erstmals um 5000 Euro zu.
