Ist die Reihe konvergent oder divergent?

Question

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2n+1 }{ { n }^{ 4 }+{ 2n }^{ 3 }+{ n }^{ 2 } }  } $$

Beweisen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie im Falle

von Konvergenz den Grenzwert.

Hinweis: 

Es ist 2n+1 = (n+1)² - n² ; verwenden Sie die Technik der Teleskopreihen.

Wie Beweise ich das? LG

Answer 1

betrachte die \(N\)-ten Partialsummen der Reihe unter Beachtung des Hinweises.$$\sum_{n=1}^N\frac{2n+1}{n^4+2n^3+n^2}=\sum_{n=1}^N\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}\\=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)=1-\frac1{(N+1)^2}.$$Daraus folgt die Konvergenz der Reihe, deren Summe nun leicht durch Grenzwertbildung zu bestimmen ist.