Bestimme die Konvergenz von Folge:
\( c_{n}=\frac{n^{2}+3}{n-1}-\frac{n^{3}+2}{n^{2}+4 n} \)
Meine Rechnung:
\( { C }_{ n }^{ }=\underset { n->\infty }{ lim } \left( \frac { { n }^{ 4 }+4{ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+12n }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }-4n } -\frac { { n }^{ 4 }-{ n }^{ 3 }+2n-2 }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }-4n } \right) =\quad \underset { n->\infty }{ lim } \left( \frac { 5{ n }^{ 3 }+10n+2 }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }-4n } \right) =\underset { n->\infty }{ lim } \left( \frac { 5+\frac { 10 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ { n }^{ 3 } } }{ 1+\frac { 3 }{ n } -\frac { 4 }{ { n }^{ 2 } } } \right) =\frac { 5 }{ 1 } =5 \)
Zuerst die beiden Brüche auf einen Nenner gebracht und dann vereinfacht. Dann alle n gegeb unendlich streben lassen und da sie immer im Nenner stehen, fällt der Bruch weg, da es ja Null ergibt. Bleibt am Ende also 5/1 = 5 übrig.
Sieht eigentlich ganz gut aus das Ergebnis, kann mich jedoch irren... Hab ich irgendwas falsch gemacht?
