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Hallo zusammen,

Ich würde gerne wissen was der Unterschied zwischen einer Kontraposition und einem Widerspruchsbeweis ist.


Vielen Dank schonmal an alle :)

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Beste Antwort

Wie hier schon beantwortet wurde läuft ein Widerspruchsbeweis, wenn du \(A \Rightarrow B\) zeigen willst, so ab:

Du nimmst \(A\) an und gleichzeitig \(\neg B\). Dann zeigst du, dass dies einen Widerspruch ergibt.

Wenn du die Kontraposition nutzt, so nutzt du aus, dass \(A \Rightarrow B\) äuqivalent zu \(\neg B \Rightarrow \neg A\) ist, d.h. du nimmst \(\neg B\) an und zeigst, dass \(\neg A\) folgt.


Ich persönlich finde Widerspruchsbeweise auf eine gewisse Art und Weise "schöner". Aber ich möchte dennoch anmerken, dass direkte Beweise oder Beweise durch Kontraposition (die ja im Prinzip auch direkte Beweise sind) besser sind als Widerspruchsbeweise:

Gehen wir erst mal vom normalen direkten Beweis aus. Dabei wirst du ja mehrere Zwischenschritte absolvieren, d.h. du zeigst im Prinzip ja so etwas wie

$$ A \Rightarrow X_1 \Rightarrow X_2 \Rightarrow  ... \Rightarrow B $$

D.h. du hast nicht nur \(A \Rightarrow B\) gezeigt, sondern der Beweis liefert noch mehr Informationen, nämlich auch \(A \Rightarrow X_1\) etc.

Beim Beweis durch Kontraposition ist das genau so, dort zeigst du ja mit Zwischenschritten etwas wie

$$ \neg B \Rightarrow Y_1 \Rightarrow  Y_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \neg A $$

d.h. durch den Beweis werden auch noch mehr Informationen sichtbar, z.B. \(\neg B \Rightarrow Y_1\) etc.


Beim Beweis durch Widerspruch hingegen gibt es keine zusätzlichen Informationen durch den Beweis. Denn dort folgerst du ja Dinge, unter der Annahme, dass \(A\) und \(\neg B\) gelten. D.h. die Folgerungen sind nur gültig, wenn diese Annahme gilt, aber durch den Widerspruch zeigst du ja genau, dass diese falsch ist und somit auch die Folgerungen, die du im Beweis nutzt. Verstehst du was ich meine?

Dadurch liefert ein Widerspruchsbeweis weniger Informationen und ist in gewissem Sinne "schlechter" oder weniger nützlich.

Beantwortet von 1,6 k

Schöne Antwort :) Plus von mir.

Vielen Dank, jetzt ist es klar:)

Danke für die Mühe:)

+1 Punkt

eine Kontraposition ist eine Umkehrung einer Folgerung (Implikation) und somit selbst eine Folgerung. Insbesondere ist sie äquivalent zu der Folgerung.

Ein Widerspruchsbeweis ist ein Beweisverfahren, in dem die Negation einer Behauptung bei der Beibehaltung der vorliegenden Voraussetzungen der Annahme zum Widerspruch geführt wird. Oft wird hierbei auch die Kontraposition einer Folgerung bewiesen.

Gruß

Beantwortet von 22 k

Danke,

und was würde das kurzgefasst für eine 1VP Aufgabe heissen?

Ein Widerspruchsbeweis ist ein Beweisverfahren - die Kontraposition hingegen keins, sondern bei der KP negiert man bloss die Umkehrung der Annahme. Wäre das richtig?

Ich weiß leider nicht was eine 1VP-Aufgabe sein soll, aber

"..sondern bei der KP negiert man bloss die Umkehrung der Annahme" das wäre falsch.

Die KP ist die Umkehrung der Annahme und nicht die Negation der Umkehrung.

-.- verschrieben:

Die KP ist die Umkehrung der Folgerung und nicht die Negation der Umkehrung.

Wir haben im Unterricht es so festgehalten, dass eine KP: Die Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung und eine Negierung dieser ist.

Ist das richtig?

Eine 1VP Aufgabe ist eine Aufgabe auf die es nur einen Verrechnungspunkt gibt. Also eine kurze Definition.

Ja das ist richtig.

Folgerung: \( A \Rightarrow B  \)

Kontraposition: \( \neg B \Rightarrow \neg A \)

was ist dann an "Ein Widerspruchsbeweis ist ein Beweisverfahren - die Kontraposition hingegen keins, sondern bei der KP negiert man bloss die Umkehrung der Annahme. Wäre das richtig?" falsch? 

ist das eine falsche Ausdrucksweise? 

Eigentlich ist es doch das, oder nicht? 

Die Negation einer Folgerung \( A \Rightarrow B \) ist \( A \Rightarrow \neg B \).

Da das nicht ganz klar scheint einmal ein Beispiel.

Betrachte die Folgerung:

"Wenn die Sonne scheint, dann ist es draußen hell"

Kontraposition: 

"Wenn es draußen nicht hell ist, dann scheint die Sonne nicht"

Umkehrung der ursprünglichen Folgerung:

"Wenn es draußen hell ist, dann scheint die Sonne"

Negation der Folgerung:

"Wenn die Sonne scheint, dann ist es draußen nicht hell"

Negation der Umkehrung der Folgerung

"Wenn es draußen hell ist, dann scheint die Sonne nicht"

Ich hoffe das verdeutlicht es ein wenig.

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