Bijektivität beweisen bei Abbildung von RxR auf RxR

Question

Hey folgende Aufgabe:

Sei f ℝxℝ → ℝxℝ definiert durch f((x,y)) = (2x + 3, x - y). Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung f^-1.

Ich brauch hier gar nicht die ganze Lösung sonder ich will nur wissen, ob mein Ansatz korrekt ist. Und zwar habe ich einfach eine Fallunterscheidung gemacht und die Injektivität sowie die Surjektivität einmal für den "x-Teil" und einmal für den "y-Teil" gezeigt. Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob das jetzt stimmt, weil ich bei der Umkehrabbildung dann ein wenig komische Ergebnisse bekomme. Darf ich das denn so machen?

Comments

wenn ich richtig verstehe versuchst du komponentenweise (also das du die Funktion als 2 Funktionen betrachtest) die Bijektivität zu zeigen. Die Surjektivität lässt sich dadurch nicht allgemein zeigen, also solltest du diesen Ansatz lieber streichen. Du musst die Funktion schon in ihrer ganzen Form betrachten.

https://www.mathelounge.de/181484/bijektiv-und-umkehrabbildung-von-f-x-y-2x-3-x-%E2%88%92-y#c181490

Das hier wird dir vielleicht weiterhelfen.

Answer 1

ich würde es am Stück machen, so in der Art : seien (x,y)  und (a,b) aus IR^2 und
      f (x,y)      =   f (a,b)
(2x + 3, x - y) =   entspr. mit a,b  und dann hast du 2 Gleichungen
    2x+3 =  2a+b          und     x-y   =  a-b 
und daraus    x=a    und  y=b  herleiten.

für surjeltiv vielleicht so   sei (a,b) aus IR^2 gibt es dann x,y mit
     f(x,y)  =  (a,b) 

(2x + 3, x - y)  = (a,b)   dann wieder 2 Gleichungen bilden und daraus x und y bestimmen.

umkehrung ähnlich
mit den Ergebnisen von surjektiv hast du ja mit   x = (a-3) / 2    y  =   (a-3) / 2  -  b
hast du ja die Werte von x und y mit denen man bei f(x,y) = (a,b) erhält,
also

f^{-1} (a,b) = (   (a-3) / 2    ,     (a-3) / 2  -  b )