Beweisen Sie sinx+siny=2sin (x+y)/(2)*cos(x+y)/(2)

Question

könnte mir jemand bitte diese Aussagen beweisen?

(a) sinx+siny=2sin (x+y)/(2)*cos(x-y)/(2)

(b) cosy-cosx=-2sin (x-y)/(2)*sin(x+y)/(2)

(c) Für z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) gilt z^6=1

Comments

Du kennst wahrscheinlich    sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

jetzt hast du ja rechts  sin((x+y)/2)= sin ( (x/2) + (y/2) )

=  sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2)*sin(y/2)

Probier mal das gleiche mit dem cos- Teil

Answer 1

Nimm einfach die Additionstheoreme für sin und cos und fang mit der rechten Seite an.

Comments

Ich versteh es leider wirklich nicht. Kannst du mir das bitte mal vorrechnen?

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2sin (x+y)/(2)*cos(x+y)/(2)    | 2 kürzen

=  sin (x+y)*cos(x+y)/(2)

= (sinx cosy + cosx siny ) * (cosx cosy - sinx siny) / 2       | ausmultiplizieren

= (sinx cosx (cosy)^2 - (sinx)^2 cosy siny + (cosx)^2 siny cos y - (siny)^2 cosx sinx  ) / 2 

                                 |ausklammern

= ( sinx cosx *(  (cosx)^2 - (siny)^2) + siny cosy ( (cosx)^2 - (sinx)^2)) / 2 

und jetzt?

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etwas besser aber noch nicht vollkommen, tut mir leid

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Die Frage war eigentlich für Mathef gemeint.

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war wohl eher so die Klammerung und bei dem cos steht wohl auch MINUS

cos(    (x-y)/2)  )

= cos ( (x/2) - (y/2) ) =    cos  (x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2)

Jetzt alles zusammen mit korrigierter Klammerung

2*sin ((x+y)/2)*cos((x+y)/2)

= 2 * (sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2)*sin(y/2)) * (  cos(x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2) )

Jetzt die beiden großen Klammern ausmultiplizieren:

2 * (  sin(x/2)*cos(y/2) cos(x/2) cos (y/2)

+ cos(x/2)*sin(y/2) cos (x/2) cos (y/2)

+  sin(x/2)*cos(y/2)sin(x/2) *sin(y/2)

+ cos(x/2)*sin(y/2)sin(x/2) *sin(y/2)      )

= 2 * (  sin(x/2)*cos^2 (y/2)  cos(x/2)

+ sin(y/2) cos^2 (x/2)  cos (y/2)

+  sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2)

+ cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2)      )

= 2 * (  sin(x/2)*cos^2 (y/2)  cos(x/2)

+cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2)

+ sin(y/2) cos^2 (x/2)  cos (y/2)

+ sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2)   )

= 2 * (   sin(x/2)cos(x/2)* ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))

und damit man die roten Klammern noch mal ausklammern kann braucht vorne noch ein minus

= 2 * (  - sin(x/2)cos(x/2)* (sin^2 (x/2) +cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))

nun aber:

= 2 * ( sin(x/2)cos(x/2) +sin(y/2)cos(y/2) *   ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) )

 Nun gibt es ja die berühmte Formel  sin^2 (z) + cos^2 (z) = 1, also ist der rote Faktor weg

und du hast

= 2 *  sin(x/2)cos(x/2)   +     2 sin(y/2)cos(y/2)       

und das ist wieder mit dem Additionstheorem sin( x/2   +  x/2 ) bzw.   sin (y/2  +  y/2 ).

also sin(x)   +  sin(y)

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(c) Für z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) gilt z⁶=1

Hier siehst du, dass  |z| = 1 ist und

z =1* e^i*pi/3  also  z^6  =  1*e^6*i*pi/3  = 1 * e^i*2pi = 1 * e^0 = 1

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Hallo mathef !

ich habe nicht verstanden bei c) was du mit e hoch iwas gemacht hast ? was ist dann denn  überhaupt und wie kommst du denn drauf ? kannst du mir das bitte erklären ? !

LG

Sabrina

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Das ist so eine Schreibweise für komplexe Zahlen,

kannst du aber auch mit z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) schreiben.

Dann ist es etwas aufwändiger mit dem Argumentieren

machst du dann besser über z^2 * z^2 * z^2

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könntest du mir bitte nochmal mit z^2 * z^2 * z^2 schreiben ? denn ich habe immer c) nicht verstanden :(

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mit z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2))

rechnest du z^2 = (  1/2 + i*(wurzel 3)/(2))  )^2

=   1/4     +   2* 1/2 * wurzel(3) / 2  *  i    +   i^2 * ( wurzel(3) / 2 )^2

=   1/4     +   wurzel(3) / 2  *  i    +   (-1) * 3/4

=  -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i

und mit diesem Ergebnis rechnest du z^6 aus:    

z^6 =    ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  )    * ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  ) * ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  )

wenn du die Klammern richtig auflöst kommt   1+0*i   also 1 raus.

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Hallo mathef,

gilt deine Rechnung von a) auch für die Rechnung: sinx+siny=2(sinx+y/2) cos(x−y/2),

also bei cos steht nicht wie oben bei der ursprünglichen Aufgabe x+y sondern x-y.

Danke im Voraus.

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siehe meinen Kommentar vom 30.11.2014.

In der ursprünglichen Aufgabe war ein Tippfehler,

da sollte ein Minus hin.

Ich korrigier das mal.

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Alles klar danke