Angaben von passenden Kongruenzen zu einer diophantischen Gleichung

Question

Ich soll in einer Aufgabe zur folgenden diophantischen Gleichung die passenden Kongruenzen angeben, diese auf Lösbarkeit überprüfen und diese ggf. lösen: 7x+12y=18

Ich weiß, dass ich im weiteren Verlauf x und y finde, indem ich die Gleichung jeweils nach x und y ausrichte (x=18-12y/7 und y=18-7x/12) und einsetze. Allerdings stehe ich momentan völlig auf dem Schlauch,wie ich anfangen soll.

Gruß

Thomas

Answer 1

Löse zuerst die homogene Gleichung 7x+12y=0

ggT(7,12)=1 -> 7x=-12y damit ist x = -12z und y=7z für beliebiges z aus Z

bestimme nun eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems:

ich probiere etwas herum (es gibt hier auch algoritmen, aber die findest Du schon selbst :-) ) und finde:

x₀=6 und y₀=(-2) als EINE Lösung der inhomog. Gleichung

Für die Lösungsgesamtheit superponieren wir homog. und inhomog. Lösungen zu:

x = 6-12z

y=-2+7z

Meintest Du das?

Comments

Also erst einmal danke für die schnelle Antwort.

So wie du es erklärst,verstehe ich es nicht, z.B weiß ich nicht einmal was superponieren bedeutet. Die Aufgabe behandelt "einfachste" Arithmetik und Algebra aus der Grundschuldidaktik an Unis,d.h ich bin eher ein Matherookie,und habe nur 3 wirklich mathematische Veranstaltungen.
Meine oben angegebenen Gleichungen müssen eigentlich vorkommen, da ich diese bezogen auf ein anderes Beispiel 1:1 vom Dozenten übernommen habe.
Zum Verständnis ein anderes Beispiel aus dem Skript:
Aus der Gleichung 
5x+3y=12
folgert er  
"3y ist kongruent zu 2 mod 5" und ich weiß einfach nicht,wie er darauf kommt.
Hieraus ergeben sich die y-Werte 4,9,14, die er in die Gleichung x=12-3y/5 einsetzt und somit die passenden x-Werte ermittelt (0,-3,-6)

---

okay, da hab ich übers Ziel geschossen, entschuldige.

Zum Beispiel aus Deinem Skript:

Bist Du sicher, dass da steht: 3y ist kongruent zu 2 mod 5 ?

Die Diophantische Gleichung kann man nämlich sehr einfach in eine Kongruenz umwandeln:

Sei ax+by=c, dann ist die Kongruenz dazu:

ax ist kongruent c mod b (schau Dir hier an, wohin welche Buchstaben wandern) ODER

by ist kongruent c mod a

Das Beispiel aus dem Skript:

5x+3y=12 (hier ist die 5 das a, 3 das b und die 12 das c)

somit folgt direkt die Kongruenz

3y ist kongruent 12 mod 5 oder anders geschrieben 3*y ist kongruent 3*4 mod 5

da nun aber auch 2 kongruent 12 mod 5 gilt (überzeuge Dich davon) kann man die 12 durch die 2 ersetzen.

es ist also: 3y kongruent 2 mod 5

jetzt überlegst Du für welche y zwischen 0 und 5 3y kongruent 2 mod 5 ist.

dass ist der Fall, wenn 2/5 und 3y/5 den gleichen Rest haben. 2/5 ist 0R2

3y/5 muss also auch Rest 2 haben:

3*0/5 = 0

3*1/5 = 0R3

3*2/5=1R1

3*3/5=1R4

3*4/5=2R2 dass heißt, die 4 löst die Kongruenz, und alle weiteren Lösungen ergeben sich durch addition der 4 mit Vielfachen von 5. also 4,9,14,19 etc.

Damit kannst Du dann paarweise das x bestimmen

Nun zu Deiner eigentlichen Aufgabe:

7x+12y=18 wir schreiben als Kongruenz:

12y kongruent 18 mod 7                     da 7 und 18 teilerfremd sind können wir wie gewohnt kürzen

2y kongruent 3 mod 7                         3/7 ist 0R3, 2y/7 muss also ebenfalls R3 ergeben

2*5/7=1R3                                          y=5 ist also die erste Lösung, die weiteren sind 12, 19,26 etc.

x bestimmst Du wieder so wie Du sagtest

hoff, das war jetzt besser :)

---

Ja super ,danke!So ist es einleuchtend,jetzt verstehe ich auch die Aufgabe aus dem Skript.
Nur noch eine kleine Frage: Den Anfang der drittletzten Zeile, also "2*5/7=1 Rest 3" hast du also durch simples Ausprobieren unter der Voraussetzung des zweiten Teils der viertletzten Zeile ermittelt?

---

es ist ja so, dass bei 2y/7 das y zwischen 0 und 7 liegen muss (Falls die Lineare Kongruenz eine Lösung hat).

Ich setze also die Zahlen 0,1,2,...,7 für y ein und prüfe, welcher Rest sich einstellt. In meinem letzten Kommentar habe ich das mit Deiner Skript-Aufgabe detailiert aufgeschrieben.

---

Alles klar,diese y und x Werte habe ich nun. y= 5,12,19 usw... daraus folgt x=-6,-18,-30 usw.

Damit ist die Aufgabe also vollständig abgeschlossen? Oder muss ich diese Werte in Bezug auf die Fragestellung noch weiter verwenden?(bzw. different aufschreiben)

---

In der Aufgabe steht noch, dass Du vor dem Lösen erst noch auf Lösbarkeit prüfen sollst. Das geht wie folgt:

1. sei ax kongruent b mod c, dann ist sie genau dann lösbar, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und c auch ein Teiler von b ist.

also wir hatten: 7x+12y=18 umgeformt zu:

12y ist kongruent 18 Mod 7

Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 7 ist 1. Die 1 wiederum ist Teiler von 18. Es gibt also genau 1 Lösung der Kongruenz und die haben wir dann auch bestimmt.

Wichtig ist noch, dass Du erkennst, dass die aus der Lösung bestimmten Wertepaare zu x und y auch Lösungen der Diophantischen Gleichung sind, bei der es ja darum geht nur ganzahlige Lösungen zu finden.

In meinem ersten Post zu Deiner Frage, hatte ich den allgemeinen Lösungsweg zu dem Problem der ausschließlich ganzzahligen Lösungen der Dioph. Gleichung aufgeschrieben, der sofort die vollständige Lösungsmenge liefert.

---

Habe die diophantische Gleichung zusätzlich direkt gelöst und sehe den Zusammenhang der Ergebnisse,perfekt!

Kannst du, falls das ohne Beispiel möglich ist, vielleicht kurz den umgekehrten Weg skizzieren?

d.h. wenn ich eine Kongruenz gegeben habe, diese in eine passende diophantische Gleichung umformen soll(was kein Problem darstellt) und dann die durch die Vielfachensummendarstellung ermittelten Werte als Restklassen schreiben möchte.

Vielleicht ist es auch schon aus deinen bisherigen Erklärungen ersichtbar,aber da dieser Aufgabentyp als nächstes kommen wird und du mit deinen Ausführungen sehr geholfen hast, würde ich das an dieser Stelle auch gerne schon klären...