Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Querschnittsfläche in Abhängigkeit von der Höhe, wenn Umfang 5 LE beträgt.

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt des abgebildeten, oben offenen Kanals ist begrenzt durch zwei Viertelkreisbögen und durch eine Strecke der Länge \( s \geq 0 . \) Die Höhe des Kanals ist \( h \).

Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Querschnittsfläche \( A(h) \) in Abhängigkeit von der Höhe h, wenn der Umfang (2 Viertelkreisbögen und Strecke s) 5 LE beträgt.

Bestimmen Sie h so, dass die Querschnittsfläche A den größten Wert besitzt. Berechnen Sie diesen Wert. (Teilergebnis: \( \left.A(h)=5 h-\frac{1}{2} h^{2} \pi\right) \)

Ansatz:

Auf die von h abhängige Flächenformel bin ich gekommen. Ich habe dafür mit folgender Nebenbedingung gerechnet:

5 = hπ+s

s = 5-hπ

A'(h) = 5-hπ

h = 5/π

Das in die zweite Ableitung, und ich erhalte ein Maximum, also das passt das ja. Setze ich 5/π für h jedoch in die Nebenbedingung für s ein, erhalte ich für s 0. Kann das sein?

Comments

S = 0 kann sein und ist auch logisch: h ist der Radius der Viertelkreise und geht daher quadratisch in die Fläche A ein, s nur linear. Wenn A maximal sein soll, muss man daher h so groß wie möglich machen. Das ist dann der Fall, wenn s so klein wie möglich (also 0) ist. Der Querschnitt ist dann ein Halbkreis.

Answer 1

Hi Simon,

erstens: Kannst Du bitte die Überschriften auch mit Groß- und Kleinschreibung versehen? Nervig jedesmal die Überschriften zu korrigieren :P.

Ich habe: A(h) = 1/2*h^2*π + sh

Nun das s von Dir einsetzen:

A(h) = 1/2*h^2*π + (5-hπ)*h = -h^2/2*π + 5h

A'(h) = -hπ + 5

usw ;).

passt also

Grüße

Comments

Wie kommst Du auf A'(h)?

Ich habe doch das selbe für A´(h) wie du ;)

Und wegen der Groß- und Kleinschreibung in der Überschrift:

Wenn man die Groß-Schreibung anwenden will, kommt eine Meldung, dass man nur Kleinbuchstaben in der Überschrift verwenden soll ;)

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s=5-hπ

Das ist die Nebenbedingung, die ja auch stimmt.

h=5/π

s=5-(5/π)*π

Das ergibt bei mir 0. Wo ist der Fehler?

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Ja, noch gesehen :D.

Hmm, Du bist der einzige der nur klein schreibt :P.

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Das bedeutet doch nur, dass Du keine Strecke hast, sondern nur zwei Viertelskreise ;). Das ist des Rätsels Lösung^^.

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Das heißt:

h=5/π

in V(h)

und die Sache ist erledigt?

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Was für ein V? Du meinst A? Dann ja ;)

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Yep, A. Zur Kontrolle: A = 12,5/π

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Hab ich auch, läuft ;)

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Ich weiß nicht, ob noch jemand hier mir kurz erklären könnte wie man den Definitionsbereich bestimmt bei dieser Aufgabe?

Das h > ist, ist mir klar, aber was ist die zweite Grenze meines Definitionsbereichs?

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Die untere Grenze sollte klar sein mit 0. Da das Maximum für h 5/π ist, wäre das auch eine sinnvolle Obergrenze ;).

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Gut, danke! Wie kann man denn den Def. Bereich allgemein bestimmen? Klar variiert das von Aufgabe zu Aufgabe, aber es gibt bestimmt Tipps was man sich für die Bestimmung anschauen muss, oder?

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Also ganz allgemein: Schaue welche Werte eingesetzt werden dürfen und welche verboten sind (Brüche dürfen keine 0 im Nenner haben etc).

Für Extremwertaufgaben: Achte hier auch darauf, dass sie sinnvoll sind -> keine negativen Längenangaben etc.

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Kann man sich auch an der Nebenbedingung orientieren? Zum Beispiel, das ist jetzt ein imaginäres Beispiel: s=10-2h    Obergrenze deshalb bei h = 5

Und für welche Angabe muss ich immer den Definitionsbereich bestimmen?

Zum Beispiel:

A=x*y

Warum muss ich dann hier für x den Definitonsbereich bestimmen?

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Um ehrlich zu sein kann ich mich nicht erinnern den Definitionsbereich je angegeben zu haben. Genauso wenig wie man das bei "normalen" Gleichungen macht. Da wird die Bestimmung des Definitionsbereichs ja auch meist unterschlagen ;).

bei ersterem beispiel scheint das eine gute Wahl zu sein. Zumindest wenn es um Längenangaben geht.

Für letzteres. Ja musst Du das denn? Für y sollte das dann auch gemacht werden, wenn das für x gemacht wird. Wenn das schlicht so dasteht (ohne weitere Bedinungen), wäre das wohl x,y > 0 ;).

Answer 2

warum soll das falsch sein?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+5h+-+1%2F2*h%5E2*pi

Ne Zeichnung hilft oft weiter.

Gruß

Comments

h=5/π

Das ist mein Extremwert der 1. Ableitung:

Wenn ich dies für h in meine Nebenbedingung einsetze, erhalte ich für s=0.

Stimmt das ?

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Das die Volumenfunktion stimmt, weiß ich ja ;)

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Ja, 5/π * π = 5.

Answer 3

5=hπ+s

s=5-hπ

A ( h ) = h^2 * π / 2 + s * h
A ( h ) = h^2 * π / 2 + (5 - h*π ) * h
A ( h ) = h^2 * π / 2 + 5*h - h^2*π
A ( h ) = - h^2 * π / 2 + 5*h
A ( h ) = 5*h - h^2 * π / 2

h kann beliebig eingesetzt und es ergibt sich dann ein entsprechendes A.

1.Ableitung
A ´( h ) = 5 - h*π 

Extremum
5 - h*π  = 0
h*π  = 5
h = 1.59

Answer 4

Kurze Frage zu dieser Aufgabe.

Wie kommt man auf

5 = h * π+s

s = 5-h*π

Meine Antwort wäre

5=2*s+2*h+ 1/2*π*h^2

Weil ich ja beide Seiten habe und den umfang eines halben Kreises

LG