Schnittmenge von Ebenen. xy-Ebene: Gleichung z=0?

Question

Aufgaben Raumgeometrie:

Es seien \( E \) die Ebene mit der Gleichung \( x+2 y-3 z=0 \) und \( E^{\prime} \) die \( x y \)-Ebene.

(a) Schreibe eine Gleichung für \( E^{\prime} \) hin.

(b) Berechne die Schnittmenge von \( E \) und \( E^{\prime} \)

(c) Berechne den Winkel zwischen den Ebenen und den Winkel, den die \( x \) - Achse mit \( E \) bildet.

(d) Jörg will den Winkel zwischen den Ebenen auf folgende Weise gewinnen: Er fällt von einem Punkt \( P \) der Ebene \( E \), der nicht in \( E^{\prime} \) liegt, das Lot auf \( E^{\prime} \), und berechnet dann den Winkel zwischen \( \vec{p} \) und dem Ortsvektor des Lotfußpunktes. Beurteile, ob das klappt, ohne konkret zu rechnen.

(e) Gib eine Parameterdarstellung für \( E \) an.

(f) Der Vektor \( \vec{x} \) soll mit \( \vec{e}_{3} \) den Winkel \( \alpha=60^{\circ} \) bilden. Schreibe einen Ansatz für \( \vec{x} \) hin und notiere eine Vermutung, was dabei geometrisch herauskommt.

(g) Der Punkt \( X \) soll vom Nullpunkt den Abstand 5 haben. Schreibe einen Ansatz für \( \vec{x} \) hin und notiere eine Vermutung, was dabei geometrisch heranskommt.

Comments

Ja, eine Gleichung für E' ist -> z=0

Denn für genau alle Punkte ,die in der xy-Ebene herumliegen, ist der  z-Wert halt eben gleich 0.

Was hast du dann als Schnittmenge mit E herausgefunden?

Answer 1

E' z=0               stimmt!?? Und wie berechne ich das?
x+2y-3z=0    und z=0
also sind die Elemente in der Schnittmenge alle  mit z=0
und  x+2y = 0   also x = -2y
Die sehen dann so aus, wenn z.B.  y=t ist
( -2t  ;   t  ;   0  )  bzw.     t( -2;1;0) Kannst du sogar geometrisch interpretieren:
Gerade durch (0;0;0) mit Richtung ( -2;1;0)
b) winkel ist der Winkel zwischen Normalenvektoren (1/2/-3) und (0/0/1)
d) klappt nicht würde nur gehen, wenn beide Ortsvektoren senkrecht auf der Schnittgerade stehen.

e) Punkt ist z.B. (1/1/1) und Richtungsvektoren zwei, die auf  (1/2/-3)

senkrecht stehen.

x * e3 = |x| * 1 * cos(60°)    mit Vektor x=(x1/x2/x3) kannst ja Länge 1 wählen

x3 = 1 * 1 * 0,5

g)  x1² +x2² + x3² = 25  Gibt Punkte auf der Kugel um (o/o/o) mit r=5

Comments

Vielen Lieben Dank für die Antwort!! Wie berechne ich bei b) den Winkel, den die x-Achse mit E bildet?

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wi zwischen Normalenvektor von E und Richtungsvektor von x-Achse, also (1/0/0)

Und dann 90° minus diesen Winkel.