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in einen Raum mit Mass 1 ist $$||f||_p$$ eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass $$\lim_{p \rightarrow} ||f||_p=||f||_{\infty}$$ muss man zeigen dass das $$||f||_{\infty}$$ das Supremum ist, oder nicht?


Um das zu zeigen, behaupten wir das das $$||f||_{\infty}-\epsilon$$ das Supremum ist. 

Vom wesentliche Supremum hat man $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0$$


Also, müssen wir zeigen dass $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0$$


Sei $$A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}$$


Wir haben dass $$\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p$$


$$\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)$$


Also, $$m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}$$


Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?

Avatar von 6,9 k
Muss man den Grenzwert $$p \rightarrow +\infty$$ nehmen??

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