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in einen Raum mit Mass 1 ist fp||f||_p eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass limpfp=f\lim_{p \rightarrow} ||f||_p=||f||_{\infty} muss man zeigen dass das f||f||_{\infty} das Supremum ist, oder nicht?


Um das zu zeigen, behaupten wir das das fϵ||f||_{\infty}-\epsilon das Supremum ist.

Vom wesentliche Supremum hat man m({f>fϵ})=0m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0


Also, müssen wir zeigen dass m({f>fϵ})>0m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0


Sei A={f>fϵ}A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}


Wir haben dass Afpfpfp\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p


Afp>A(fϵ)p=(fϵ)pm(A)\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)


Also, m(A)1/p(fϵ)<fpfm(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}


Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?

Avatar von 6,9 k
Muss man den Grenzwert p+p \rightarrow +\infty nehmen??

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