in einen Raum mit Mass 1 ist ∣∣f∣∣p eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass p→lim∣∣f∣∣p=∣∣f∣∣∞ muss man zeigen dass das ∣∣f∣∣∞ das Supremum ist, oder nicht?
Um das zu zeigen, behaupten wir das das ∣∣f∣∣∞−ϵ das Supremum ist.
Vom wesentliche Supremum hat man m({∣f∣>∣∣f∣∣∞−ϵ})=0
Also, müssen wir zeigen dass m({∣f∣>∣∣f∣∣∞−ϵ})>0
Sei A={∣f∣>∣∣f∣∣∞−ϵ}
Wir haben dass ∫A∣f∣p≤∫∣f∣p≤∣∣f∣∣∞p
∫A∣f∣p>∫A(∣∣f∣∣∞−ϵ)p=(∣∣f∣∣∞−ϵ)pm(A)
Also, m(A)1/p(∣∣f∣∣∞−ϵ)<∣∣f∣∣p≤∣∣f∣∣∞
Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?