Um den Grenzwert zu finden muss ich zeigen dass m(A)>0. Aber wie?

Question

in einen Raum mit Mass 1 ist $$||f||_p$$ eine steigende Funktion von p. Um zu zeigen dass $$\lim_{p \rightarrow} ||f||_p=||f||_{\infty}$$ muss man zeigen dass das $$||f||_{\infty}$$ das Supremum ist, oder nicht?

Um das zu zeigen, behaupten wir das das $$||f||_{\infty}-\epsilon$$ das Supremum ist.

Vom wesentliche Supremum hat man $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})=0$$

Also, müssen wir zeigen dass $$m(\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\})>0$$

Sei $$A=\{|f|>||f||_{\infty}-\epsilon\}$$

Wir haben dass $$\int_A |f|^p \leq \int |f|^p \leq ||f||_{\infty}^p$$

$$\int_A |f|^p >\int_A (||f||_{\infty}-\epsilon)^p=(||f||_{\infty}-\epsilon)^p m(A)$$

Also, $$m(A)^{1/p} (||f||_{\infty}-\epsilon)<||f||_p \leq ||f||_{\infty}$$

Wie kann ich weiter machen, um zu zeigen dass m(A)>0 ?

Comments

Muss man den Grenzwert $$p \rightarrow +\infty$$ nehmen??