Extremwertaufgabe: Aquarium mit 500 Liter Inhalt so bauen, dass Kleberverbrauch minimal ist.

Question

Eine Firma möchte Aquarien mit einem Fassungsvermögen von 500 Litern herstellen. Das Verhältnis der Maßzahlen Länge : Breite $=2: 1$ ist vorgegeben. Das Aquarium wird durch das Zusammenkleben von Glasscheiben hergestellt. Es ist der Bedarf an teurem Kleber zu minimieren. (Die Dicke der Glasscheiben ist bei den Berechnungen zu vernachlässigen.)

Klebekanten des Aquariums:

Kleberprofil beim Auftragen auf die Glasplatte:

a) Leiten Sie die Funktion zur Gesamtlängenberechnung der Klebekanten des Aquariums in Abhängigkeit von der Variablen a her.

Lösung: $L=f(a)=6 a+a^{-2}$

b) Welche Breite a, Länge $\mathrm{b}$ und Höhe $\mathrm{c}$ sind für das 500 -Liter-Aquarium zu wählen, um ein Minimalverbrauch an Kleber zu gewährleisten?

Wie viele Meter Klebekante sind es insgesamt pro Aquarium?

c) Die Querschnittsfläche des Klebers nach dem Auftragen auf dem Glas ist zu berechnen. Diese entspricht der Maßzahl der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+1$ und der $x$-Achse vollständig umschlossen wird. Eine Längeneinheit ist $1 \mathrm{~mm}$ (siehe zweite Skizze).

Wie viele $\mathrm{cm}^{3}$ Kleber werden für das Aquarium insgesamt benötigt?

Answer 1

zu a:

Zunächst bestimmst Du die Seitenlängen b und c in Abhängigkeit von a:

aus dem Text erfährst Du, dass Länge (b) und Breite (a) im Verhältnis 2:1 stehen. Daraus ergibt sich direkt:

b = 2a

Nun wissen wir, dass das Volumen 500 Liter also 0,5m³ betragen soll: wird stellen die Formel dafür auf und ersetzen b mit 2a:

0,5 = a*b*c -> 0,5 = a*2a*c = 2a²*c

das stellen wir um und finden :

c= 1/(4a²)

Nun können wir die Klebekanten als Funktion von a zusammenstellen. Laut Skizze benötigen wir 2 mal die Seite a, 2 mal die Seite b und 4 mal die Seite c, damit ist die Funktion mit unseren bisherigen Ergebnissen:

f(a) = 2a + 2b + 4c = 2a + 2*2a + 4 * 1/(4a²) = 6a + 1/a²           q.e.d.

zub:

Da wir nun eine Funktion haben, die uns Die Kantenlänge in Abhängigkeit von a bei Beibehaltung des Volumens ermittelt, können wir versuchen ein Minimum dieser Funktion zu finden, und das zugehörige a ermitteln:

f'(a)=0

f'(a) = 6 - 2/a³ = 0 -> 6= 2/a³ -> a³=1/3 -> a ist rund 0,693 m

Wir prüfen nun, ob für dieses a tatsächlich ein Minimum vorliegt:

f''(0,693)= 8/0,693⁴ ist größer Null und damit Minimum.

Die Kantenlängen werden also bei a=0,693 m minimal.

zuc:

Das benötigte Klebevolumen berechnen wir aus querschnittsfläche mal Kantenlänge. Die Querschnittsfläche bekommen wir aus dem Integral von -2 bis 2 über der gegebenen Funktion f(x):

$$\int_{-2}^{2} -\frac{1}{4}x^2+1 \quad dx = -\frac{3}{4}x^3+x \bigg \vert^{+2}_{-2}= -8$$

Da uns nur der Betrag des Flächenintegrals interessiert halten wir für die Fläche den Wert 8 mm² fest.

Für die Klebstoffmenge ist dies nun mit der Klebekantenlänge zu multiplizieren ( achte auf die Einheiten):

V= 693 mm * 8 mm² = 5544 mm³ = 5,544 cm³

Comments

an deiner Stammfunktion ist was falsch, muss wohl

-1/12 * x³ + x heißen

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Richtig, entschuldige

Answer 2

Die Klebekanten sind ja nur am Boden und an den Seiten, denn es wird ja kein Deckel
draufgeklebt.

also  Länge der Klebekanten  L = 2a + 2b + 4c

wegen b:a = 2:1  hast du b = 2a

und das Volumen 0,5m³  ist  o,5 = a*b*c also 2a²*c

also c= o,5   / (2a²) =  0,25/a²

alles bei L=... eingesetzt gibt  L = 2a + 4b + 4*0,25 / a² also das angegebene Ergebnis.

b) Damit das möglichst klein ist, muss ein Minimum der Funktion L(a) = 6a + a^-2 berechnet

werden.  Also  L ' (a) = 6 - 2* a^-3  gleich Null setzen, das gibt dann a= 3.Wurzel( 1/3)

und L ''(a) = 6*a^-4  gibt   L ' ' (3.Wurzel( 1/3)) > 0  also ist dort ein Min.

bei L(a) einsetzen gibt L(3.Wurzel( 1/3)) ungefähr 6,24  also ungefähr 6,240 m Klebekante.

c) Für die Fläche berechnest du das Integral von -2 bis 2 über -0,25x²+1

das gibt 8/3  also Fläche 8/3 mm² und Kantenlänge war ja 6240 mm

gibt 16640mm³   also  16,6 dm³ Kleber.

Comments

Dafür sollte es bei Dir 16,4 cm³ heißen ;)

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prima, dann ist ja jetzt alles richtig