Komplexe Zahlen, Nachweis cos 10° + i sin10° = 738ste Wurzel aus -1

Question

ich habe hier eine Aufgabe die ich nicht ganz verstehe. Ich schreibe sie einfach mal auf;

"Weisen Sie nach dass cos 10° + i sin 10° die siebenhundertachtunddreißigste Wurzel aus -1 ist."

Der Betrag der komplexen Zahl ist 1, soweit bin ich. Allerdings habe ich noch nicht wirklich etwas gefunden was

mir nun weiter hilft.

Wie gesagt, so ganz verstehe ich die Aufgabe schon nicht...

Schon mal danke für Eure Mühe!

Answer 1

wende Potenzgesetze und de Moivre an.$$(\cos10°+i\sin10°)^{738}=(\cos10°+i\sin10°)^{18\cdot41}$$$$=(\cos180°+i\sin180°)^{41}=(-1)^{41}=-1.$$

Answer 2

Habe noch nie gesehen, dass jemand 738 in Worten ausschreibt :-)

Ich finde es immer wieder toll, dass man auf unterschiedlichen Wegen zur selben Lösung kommen kann (wenn man z.B. Satz von de Moivre gerade nicht im Kopf hat):

Unter http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

bei sin(10°) = ((-1)^{4/9} - (-1)^{5/9})/2

mit cos(x)=sqrt(1-sin(x)²) wird nun:

(cos10°+i*sin10°)^738

= {i*(((-1)^{4/9} - (-1)^{5/9})/2)+sqrt(1-[((-1)^{4/9} - (-1)^{5/9})/2]²)}^{18*41}

=(-1)^{1/18*18*41} = (-1)^41 = -1