Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen auf ihrem natürlichen Definitionsbereich mit Hilfe der Regeln für Ableitungen
\( \begin{array}{l} f_{1}(x)=e^{-x} \cos (2 x+\pi) \\ f_{2}(x)=\frac{\sin (x)}{2+x^{2}}, \\ f_{3}(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \\ f_{4}(x)=\arctan (x) \end{array} \)
wobei arctan die Umkehrabbildung des Tangens (auf ] \( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[) \) ist.
Meine Ableitungen:
1)
\( f 1^{\prime}(x)=e^{-x} *(-1) * \cos (2 x+\pi)+e^{-x} *-\sin (2 x+\pi) * 2 \)
\( =-e^{-x} * \cos (2 x+\pi)+e^{-x} * \sin (-2 x-\pi)^{*} 2 \)
2)
\( \frac{f(x)=\cos (x)-\sin (x) * 2 x}{2+x^{2}} \)
3)
\( f(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} *\left(1+\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right) \)
\( f(x)=\frac{\left(1+\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)}{x+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \)
4)
\( f(x)=\arctan =\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \)
\( f(x)=\frac{\sin (x) *-\sin (x)-\cos (x) * \cos (x)}{\sin (x)^{2}} \)
\( f(x)=\frac{-(\sin (x))^{2}-(\cos (x))^{2}}{\sin (x)^{2}} \)
\( f(x)=1-\frac{-(\cos (x))^{2}}{\sin (x)^{2}} \)
