Habe ich korrekt abgeleitet? f(x) = e-x cos(2x + π), g(x) = sin(x) / (2+x2)

Question

Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen auf ihrem natürlichen Definitionsbereich mit Hilfe der Regeln für Ableitungen

$\begin{array}{l} f_{1}(x)=e^{-x} \cos (2 x+\pi) \\ f_{2}(x)=\frac{\sin (x)}{2+x^{2}}, \\ f_{3}(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \\ f_{4}(x)=\arctan (x) \end{array}$

wobei arctan die Umkehrabbildung des Tangens (auf ] $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[)$ ist.

Meine Ableitungen:

1)

$f 1^{\prime}(x)=e^{-x} *(-1) * \cos (2 x+\pi)+e^{-x} *-\sin (2 x+\pi) * 2$
$=-e^{-x} * \cos (2 x+\pi)+e^{-x} * \sin (-2 x-\pi)^{*} 2$

2)

$\frac{f(x)=\cos (x)-\sin (x) * 2 x}{2+x^{2}}$

3)

$f(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} *\left(1+\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
$f(x)=\frac{\left(1+\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)}{x+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$

4)

$f(x)=\arctan =\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$
$f(x)=\frac{\sin (x) *-\sin (x)-\cos (x) * \cos (x)}{\sin (x)^{2}}$
$f(x)=\frac{-(\sin (x))^{2}-(\cos (x))^{2}}{\sin (x)^{2}}$
$f(x)=1-\frac{-(\cos (x))^{2}}{\sin (x)^{2}}$

Answer 1

Du kannst deine Ableitungen hiermit korrigieren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29+%2F+%282%2Bx%5E2%29…

Zudem siehst du bei Wolframalpha, ob man die Ableitung auch anders schreiben könnte.

Bei f2 hast du vermutlich "einfach" falsch gekürzt.

Man muss den ungekürzten Bruch stehen lassen, da im Zähler eine Strichrechnung vorhanden ist.

Comments

Bei f1 ist der 2. Schritt unüblich. Man hat ungern ein Minus im Argument einer trigonometrischen Funktion.

WolframAlpha nutzt vor dem Ableiten bereits, dass cos(A + π ) = - cos(A)  .

---

f4 hast du falsch verstanden. Die Umkehrfunktion ist nicht einfach der Kehrwert des Tangens. Hier musst du ein Verfahren zur Ableitung von Umkehrfunktionen kennengelernt haben.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+arctan%28x%29+

---

Der Link verweist wieder auf meine Frage

Zur 2)

$f(x)=\frac{\left(2+x^{2}\right) * \cos (x)-\sin (x)^{*} 2 x}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}$

---

Deine innere Ableitung von 3. ist unvollständig.

Vor der Wurzel fehlt der Faktor 1/2 . Ausserdem gibt's da noch einen Zusätzlichen Faktor 2x . Die innere Ableitung von 1 + x² unter der Wurzel.

---

So ist 2 nun ok.

Link https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29+%2F+%282%2Bx%5E2%29… wird oben korrigiert. Danke für den Hinweis.

---

Stimmt die 1/2 habe ich vergessen vor (1+x²) zu schreiben. Also habe ich bei F3 drei in einander geschachtelte Funktionen? Kommt der Faktor 2x dann auch vor die Wurzel?

Also:

$f(x)=\frac{\left(1+\left(\frac{1}{2} * 2 x *\left(1+x^{2}\right)\right)^{-\frac{1}{2}}\right)}{x+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$

---

Hast du das mit dem Ergebnis von WolframAlpha verglichen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x+%2B+√%281%2Bx%5E2%29%29

f(x) = ln(x + √(1+x²))

f ' (x) = 1 / (x + √(1+x²))  * ( 1 + 1/2 *2x (1+x²)^-1/2)

f ' (x) = 1 / (x + √(1+x²))  * ( 1 + x (1+x²)^-1/2) 

f ' (x) = 1 / (x + √(1+x²))  * ( √(1+x²)  + x) / (1+x²)^1/2) 

= 1/(1+x²)^1/2

---

Ich bekomme kein Ergebnis für ln{x + sqrt { 1+{ x } ² }}

---

Tut mir leid, aber ich kann mit dem Link nichts anfangen.

---

Ich habe inzwischen oben fertig gerechnet und komme nun auf das Resultat im Link.

Du findest es relativ weit unten bei "Derivative".

Wenn du so unsicher bist, stelle bitte für jede Rechnung eine eigene Frage.