Question

Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren dieser Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{cc} 8 & -1 \\ 5 & 2 \end{array}\right) \)

Berechnen Sie explizit \( V^{-1} A V \), wobei \( V \) die Matrix sei, deren Spalten die Eigenvektoren von \( A \) bilden.

Bestimmen Sie auch die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren dieser Matrix:

\( B=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right) \)

Für eine invertierbare Matrix \( C \) sei Ihnen ein Eigenwert \( \lambda \) zum Eigenvektor \( v \) bekannt.
Bestimmen Sie daraus einen Eigenwert und Eigenvektor von \( C^{-1} \).

Answer 1

Für die Eigenwerte bestimmst du erst mal die det von
8-x     -1
5      2-x   
das ist x^2-10x+21
die setzt du gelich Null und rechnest die x'e aus:
gibt x=7 oder x=3
Das sind die Eigenwerte.
Eigenvektoren findest du durch Lösen der Gleichungssysteme
A*x   = 7*x    und   A * x = 3*x
also kurz
8-7     -1
5      2-7     mal Vektor x   =   Nullvektor

1*x1  - 1* x2 = 0
5*x1   -5 *x2 = 0   also Lösungen alle Vektoren ( t,t) mit t aus IR
also z.B. (1,1) ist ein Eigenvektor zum EW 7

ebenso für die 3 gibt
5x1 -x2 = 0
5x^- x2 = 0      also Lösungen (t, 5t) also
z.B   (1,5) ein Eigenvek. zum EW 3

Damit ist V =
1     1
1     5
und also V^{-1} =
-1/4     1/4
5/4      -1/4

und wenn du nachrechnest ist   v*A*v^{-1}  
genau die Matrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen und sonst Nullen
und das ist ja immer das Ziel.

B hat nach meiner Rechnung keine EW'e.

c) Ich schreib mal L statt lambda . Das Gegebene bedeutet
  C * v = L * v      wird von links mit C^{-1} multipliziert, gibt
C^{-1}  *    ( C * v )=   C^{-1}  (L * v )
Die Klammern kann man nach den einschlägugen Gesetzen umsetzen
und C^{-1}  *     C ist die Einheitsmatri x E
E * v =   ( C^{-1}  *L)  * v      und Matrix mal ZAHL L ist gleich L * Matrix, also
    v =    L *  C^{-1}  * v
und bei einer invertierbaren Matrix ist immer L ungleich Null, also
1/L * v = C^{-1}  * v
d.h.   v ist auch ein Eigenvektor von C^{-1}  zum Eigenwert 1/L.