Umformung unverständlich (Integration)

Question

Welche Umformung wurde hier gemacht?

\( \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{v(t)^{2}-\sqrt{\frac{g}{z}}^{2}} \cdot \mathrm{d} v=d t \)

\( \mathrm{t}=\frac{1}{\alpha} \cdot\left[-\frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{a}}}} \cdot \operatorname{artanh}\left(\frac{\mathrm{v}(\mathrm{t})}{\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{I}}}}\right)\right] \)

Answer 1

Da wurde in der Tat integriert und kam was raus mit ar tanh .
Zumindest kannst du die Richtigkeit nachvollziehen,
 wenn du das Ergebnis nach t ableitest.

ar tanh(x) hat die Abl. 1 / (1 - x^2 )

Den Faktor 1/alpha vor der Klammer lass ich mal weg, der ist ja vorher
wie nachher da.

die Ableitung der eckigen Klammer nach t gibt ja
-1 / wurzel(g/u)  *   (  1  /  ( 1  -   v(t)^2 /(g/u) )  ) * innere Ableitung
= -1 / wurzel(g/u)  *   (  1  /  ( 1  -   v(t)^2/(g/u)  ) *  ( 1/wurzel(g/u) ) * dv
jetzt erst mal den ersten und den 3. Nenner multiplizieren
= -1 /(g/u)  *   (  1  /  ( 1  -   v(t)^2/(g/u)  ) *   1  * dv
= -1 *   (  1  /  ( g/u  -   v(t)^2 ) *   dv
=     (  1  /  (  v(t)^2 - g/u ) *   dv
also wie gewünscht.

Answer 2

Hi,

eine Umformung im eigentlichen Sinne wurde hier nicht getätigt. Hier wurde einfach integriert. Dazu mag es ratsam sein mit 1/(√(g/a))^2 zu erweiter, dann kann man den im Nenner entstehenden Summanden durch u^2 ersetzen ;).

Grüße