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Wir betrachten die Funktion:

f : ℝ → ℝ,   x ↦ { x^2  sin(1/x),  x≠ 0
                             0                      x = 0


a) f ist differenzierbar

b) f' ist nicht differenzierbar in x0 = 0

c) Ist g(x) = f2(x), so hat g ein lokales Minimum in x0 = 0

d) Für jedes ε > 0 ist g im Intervall (0, ε) nicht monoton wachsend und im Intervall
   (-ε, 0) nicht monoton fallend.

e) Skizzieren Sie den Graph von g.


Bei a) ist ja schon https://www.mathelounge.de/191065/differenzierbarkeit-von-funktion-beweisen-sin-ungleich-und ...

Aber beim Rest weiß ich nicht weiter. Ich könnte Lösungsansätze gebrauchen...

von

1 Antwort

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b) f' ist nicht differenzierbar in x0 = 0

Du hast ja aus a)  f ' (0)=0 und f ' (x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) sonst.

Dann machst du den Diff.quot. von f ' (x) bei x=0

( f(o+h) - f(o) ) / h =  (2h*sin(1/h) - cos(1/h) - 0 ) / h

= 2 * sin(1/h) - cos(1/h)/h  und musst überlegen, ob das für

h gegen 0 einen GW hat. Hat es aber nicht, denn für

die Nullfolge hn=1/n*2pi ist es immer   - 1 / n*2pi geht also gegen Null

aber für hn=pi/2 + 1/n*2pi ist es immer konstant 2.

Also existiert kein GW, also nicht diffb. in 0.


c) Ist g(x) = f2(x), so hat g ein lokales Minimum in x0 = 0

offenbar f2(x) größer gleich Null für alle x und g(0)=0,

also gibt es keinen, der kleiner als g(0) ist, also dort lok. Min.

d) Für jedes ε > 0 ist g im Intervall (0, ε) nicht monoton wachsend und im Intervall
   (-ε, 0) nicht monoton fallend.

In den Intervallen ist g diffb. mit g ' (x) =  x^2*sin(1/x)*(4*x*sin(1/x)-2*cos(1/x))
und dass hat jeweils bei x=1/n*pi  und bei x=-1/n*pi einen Vorzeichenwechsel und in
jedem der Intervalle liegen solche x'e.
von 152 k
Wie zeichnet man e)?

Versuche es doch mal mit geogebra.

wenn du nicht auf den Maßstab achtest sieht es aus wie eine Parabel.

Etwas spannender ist es ja in der Nähe von Null.

Zeichenbereich x-Achse von -0,005 bis +0,005

und y-Achse von -0,5 bis +0,5 gibt einen gewissen

Eindruck.

Kann man Aufgabenteil b mit dem epsilon delta kriterium beweisen, also dass sie an der stelle 0 nicht stetig ist ? wenn ja wie ?

Das sollte schon gehen. Wähle z.B. die Nullfolgen, die ich hier vorgeschlagen habe.

https://www.mathelounge.de/192115/beweisen-dass-ableitung-sin-fur-der-stelle-nicht-stetig-ist#a192130

EDIT: Wenn ich's richtig gemacht habe, sind das dieselben, die mathef hat.

g(0)=0 kann doch garnicht sein oder ?

Hat jemand bei e) die Skizze? Bei mir streikt Geogebra...

dann nimm wolfram...

hier ist es schon mit zeichnung:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2sin%281%2Fx%29

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