Der Vektor \( \vec{a}=5 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k} \) ist in drei vektorielle Komponenten zu zerlegen, die parallel zu \( \vec{e}_{1}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{e}_{2}=\vec{j}+\vec{k} \) bzw. \( \vec{e}_{3}=\vec{i}+\vec{k} \) sind.
Lösung:
\( \vec{a}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3} \) mit \( \vec{a}_{1}=3 \vec{i}+3 \vec{j}, \quad \vec{a}_{2}=-\vec{j}-\vec{k}, \quad \vec{a}_{3}=2 \vec{i}+2 \vec{k} \)
a = 5i + 2j +k
gesucht sind x,y,z mit
a= xe1 + ye2 + ze3 = x(i+j) + y(j+k) + z( i + k)
= (x+z)*i + ( x+y) * j + ( y+z) * k
und die Werte in den Klammern müssen ja die 5 2 1 von oben
sein. also machst du ein Gleichungssystem
x+z=5 x+y=2 und y+z= 1
und erhältst als Lösungen x=3 y=-1 und z=2
Den Rechenweg verstehe ich, aber die Logik dahinter durchblicke ich noch nicht ganz. Was mache ich da genau? Was weise ich nach? Warum ist das so?
Die i,j,k bilden eine Basis für den Vektorraum und
die e1,e2,e3 auch. Es geht also darum von einer Basisdarstellung
in die andere umzurechnen
Mach doch einfach den Ansatz -> a= u*e1+v*e2+w*e3
dann bekommst du durch Vergleich für u,v,w das Gleichungssystem
u+w=5
u+v=2
v+w= 1
das wirst du doch problemlos lösen können.
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