Kombinatorik Summenzeichen Vereinigung (Mächtigkeit). Warum sind die Ausdrücke gleichmächtig?

Question

Habe eine Frage zu meinem Matheskript:

Satz 7:

Seien \( A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \) paarweise disjunkte endliche Mengen. Dann gilt
\( \left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right|=\sum \limits_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right| \)

Das heißt doch, dass es gleich viele Elemente sind. Also wenn ich für beide für n=3 einsetze, dann wird in dem ersten Fall 1,2,3 vereinigt. D.h. Ich habe eine Menge = [1,2,3].

Bei dem zweiten Fall wird ja summiert. Wieder mit n=3. Also 1+2+3=6. Nun habe ich ja einmal 3 Elemente und einmal 1.

Warum sind die Ausdrücke dann gleichmächtig?

Answer 1

Verstehst du 'paarweise disjunkt'?

Das ist dasselbe, wie es gibt kein Element, das in mehr als einer der Mengen A_(i) enthalten ist.

Also z.B.

A_(1) = {3,4} und A_(2) = {2,9,10}        |  Zwei Elemente und 3 Elemente gibt 5 Elemente.

A_(1) u A_(2) = {2,3,4,9,10}      : Fünf Elemente

stimmt doch.

Comments

Jap. Das verstehe ich durchaus. Aber wenn man die Formelzeichen mal verwendet mit der Zahl 3, dann erhalte ich doch bei der Vereinigung 3 Elemente da ich sie ja vereinige zu einer Menge. 
Bei dem Summenzeichen addiere ich aber. Also erhalte ich 6 für n=3. Und das ist dann am Ende doch 1 Element.

Also sind die beiden Aussagen des Bildes nicht gleichmächtig oder verstehe ich da was falsch?

---

|A_(i)| ist immer nur die Mächtigkeit der Menge A_(i). Niemals kommst du da direkt zu den Werten in der Menge. Das brauchen ja nicht mal Zahlen zu sein.

---

Achso. Also Wäre das einmal  [1 U 2 U 3] und einmal [1+2+3]. Und damit gleichmächtig?

---

Kann ich so nicht sagen.

Mengen werden in der Regel mit geschweiften Klammern aufgezählt. Auch bei der Vereinigung müssen noch geschweifte Klammern um die Mengen stehen. Vereinigungszeichen haben zwischen Zahlen nichts zu suchen.

erst nach Betragsstrichen um | A | ist das eine Zahl mit der man rechnen kann.

Answer 2

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: \(n=2:\cup_{i=1}^2 A_i=A_1\cup A_2\Rightarrow |A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|\), da \(A_1\cap A_2=\emptyset\)

Induktionsannahme:\(|\cup_{i=1}^n A_i|=\sum_{i=1}^n|A_i|\)

Induktionsschluss:\(n\rightarrow n+1:\cup_{i=1}^{n+1} A_i= \cup_{i=1}^n A_i\cup A_{n+1}\Rightarrow |\cup_{i=1}^{n+1} A_i|=|\cup_{i=1}^n A_i|+|A_{n+1}|\), da \( \ A_i \cap A_{n+1}=\emptyset\)

also wegen der Induktionsannahme \(|\cup_{i=1}^{n+1} A_i|=\sum_{i=1}^n|A_i|+|A_{n+1}|=\sum_{i=1}^{n+1}|A_i|\)