geometrische Laufzeitberchnung

Question

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie 47000  m3 Müll an, im zweiten Jahr 49350  m3 . Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für 3000000  m3 Müll.

Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Comments

Interpretationsfrage:

Kommen nach dem zweiten Jahr 49350 m³ Müll zu den bestehenden 47000 m³ Müll hinzu? Oder sind nach 2 Jahren insgesamt 49350 m³ Müll in der Deponie?

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Im 2en Jahr kommen zusätzlich nochmal die 49350 m3 in die Deponie, also gesamt wären es im 2. Jahr 96350m3. =)

Answer 1

Ok,

dann handelt es sich um die Berechnung einer geometrischen Summe.

Den Wachstumsfaktor erhalten wir direkt aus dem Vergleich der ersten beiden Jahre:

$$\frac{49350}{47000} = 1,05$$

Aufstellen der Formel für die Müllansammlung nach $k$ Jahren:

$$M(k) = 47000\cdot \sum_{n=0}^{k-1} 1,05^n = 47000 \cdot \frac{1,05^k - 1}{1,05 - 1}$$

Was zu tun ist: $k$ berechnen, so dass

$M(k) = 3000000$ (Es wird was krummes rauskommen, gegebenenfalls interpretieren.

Gruß

Comments

Aber was kommt nun bei dir heraus? Als Lösung sollte 29,37 rauskommen, doch komme ich viel höhere Ergebnisse..

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Das ist das richtige Ergebnis. Sicher das du richtig umgeformt hast?

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Nein, hast du vielleicht einen Lösungsweg? =) Danke nochmal!

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$$...$$

$$1,05^k -1 = \frac{3000000}{47000} \cdot 0,05$$

$$1,05^k \approx 4,1915$$

$$k \approx \frac{\log(4,1915)}{{\log(1,05)}} \approx 29,37$$

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tatsächlich, stimmt es jetzt auch bei mir! hast einen dicken pluspunkt verdient! =)

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alles klar! :)