Beweis gesucht: Zahlen durch 5 teilbar?

Question

Beweis gesucht: Ist k > 1 eine natürliche Zahl und m und a natürliche Zahlen

mit 10^k + m^2 = a^2 dann sind a und m durch 5 teilbar.

Comments

Wenn $$m= 5^k - 2^{k-2}$$ und $$a= 5^k + 2^{k-2}$$ dann gilt es nicht!!

Answer 1

Hinweis:

$$10^k+m^2=a^2 \Rightarrow 10^k=a^2-m^2 \Rightarrow 10^k=(a-m)(a+m)$$

Wir haben dass wenn p eine Primzahl ist und $$p \mid a \cdot b \text{ dann } p \mid a \text{ oder } p \mid b$$

Da 5 eine Primzahl ist, haben wir folgendes:

$$5 \mid 10^k \Rightarrow 5 \mid (a-m) \text{ oder } 5 \mid (a+m)$$ 

Comments

Wenn \(m= 5^k - 2^{k-2}\) und \(a= 5^k + 2^{k-2}\) dann gilt es nicht!! 

Answer 2

Versuche mal den Ansatz:
$$ 10^k + m^2 = a^2 \quad\Leftrightarrow\quad 10^k = \left(a-m\right)\cdot\left(a+m\right) $$