Integral x^4*arctan(x)dx

Question

ich habe folgendes Problem. Meine Aufgabe ist es das unbestimmte Integral zu lösen.

$$\int { { x }^{ 4 } } arctan(x)\quad dx$$

Durch die Partielle Integration bin ich schon ein Stück weiter gekommen.

$$f\left( x \right) =arctan(x)\quad { f }^{ ' }(x)=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

$$g^{ ' }\left( x \right) ={ x }^{ 4 }\quad g(x)=\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } $$

$$=arctan(x)\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { 1 }{ 5 } \int { \frac { { x }^{ 5 } }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } $$

ab hier bin ich mit mein Latein am ende. Ich hoffe jemand kann mir ein Tipp geben.

Gruß

Anderlin

Answer 1

$$\int \frac{x^5}{1+x^2}dx=\int \frac{x^5+x^3-x^3}{1+x^2}dx=\int \frac{x^3+x^5}{1+x^2}dx-\int \frac{x^3}{1+x^2}dx=\int \frac{x^3(1+x^2)}{1+x^2}dx-\int \frac{x^3+x-x}{1+x^2}dx=\int x^3dx-\int \frac{x+x^3}{1+x^2}dx+\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{4}x^4-\int\frac{x(1+x^2)}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=\frac{1}{4}x^4-\int xdx+\frac{1}{2} \ln (1+x^2) \\ \Rightarrow \int \frac{x^5}{1+x^2}dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$$  
Also $$\int x^4 \arctan(x)dx=\arctan(x) \frac{x^5}{5}-\frac{1}{5}  \int \frac{x^5}{1+x^2}dx \\ \Rightarrow \int x^4 \arctan(x)dx=\arctan(x) \frac{x^5}{5}-\frac{1}{5}  \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\ln (1+x^2) \right)$$

Comments

Wow, so was wäre mir niemals eingefallen. Kannst du mir bitte aber noch zwei Sachen genauerer erklären?
$$\int { \frac { { x }^{ 3 }(1+{ x }^{ 2 }) }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } -\int { \frac { { x }^{ 3 }+x-x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } $$ wieso hast du im nächsten Schritt ein plus Zeichen zwischen den Integralen? also $$\int { \frac { { x }^{ 3 }(1+{ x }^{ 2 }) }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } -\int { \frac { { x }^{ 3 }+x }{ 1+{ x }^{ 2 } } +\int { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }  } $$
und 
wie komme ich von  $$\int { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } $$ auf $$\frac { 1 }{ 2 } ln(1+{ x }^{ 2 })$$
Gruß Anderlin
x$$

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$$\int \frac{x^3(1+x^2)}{1+x^2}-\int \frac{x^3+x-x}{1+x^2}=\int \frac{x^3(1+x^2)}{1+x^2}- \left( \int \frac{x^3+x}{1+x^2} -\int \frac{x}{1+x^2} \right)=\int \frac{x^3(1+x^2)}{1+x^2}- \int \frac{x^3+x}{1+x^2} -\left(-\int \frac{x}{1+x^2} \right) \\ =\int \frac{x^3(1+x^2)}{1+x^2}-\int \frac{x^3+x}{1+x^2} +\int \frac{x}{1+x^2} $$ 

Man hat dass $$\left( \ln f(x) \right)'=\frac{f'(x)}{f(x)} $$ 

Also $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx=\int \left( \ln f(x) \right)'dx=\ln f(x) +c$$ 

In diesem Fall ist $$f(x)=1+x^2$$ und $$f'(x)=2x$$ 

Also $$\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx=\frac{1}{2} \int \left( \ln (1+x^2) \right)'dx=\frac{1}{2} \ln (1+x^2) +c$$ 

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Oh ok das zweite habe ich verstanden.

Substitution

$$\int { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } $$

mit t = (1+x^2)

$$\frac { dt }{ dx } =2x\quad \Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow dx=\frac { dt }{ 2x } $$

$$\int { \frac { x }{ t }  } \frac { dt }{ 2x } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ t }  } dt=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } dt=\frac { 1 }{ 2 } ln(1+{ x }^{ 2 })+C$$

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Soll ich das erste analytischer erklären oder hast du es verstanden?

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:) nein jetzt ich alles klar. Vielen dank. Wie gesagt wäre niemals drauf gekommen.

Gruß

Anderlin