Satz: Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist falls G zyklisch ist auch immer U zyklisch.
Da G zyklische Gruppe ∃gϵG mit <g>=G.
Sei ∣G∣=∣<g>∣=n⇒gn=e (e ∈ G das neutrale Element)
Und sei U Untergruppe mit ∣U∣=m
⇒m∣n⇒∃aϵG mit n=m∗a
Für jedes uϵU∃kϵG,gk=u
Wenn nun ∣<u>∣<m∀uϵU wäre, so müsste ich irgendwie auf einen Widerspruch stoßen.
Klar ist, dass (gk)q=gkq=uq für ein q aus G.
Damit uq=gkq=e ist, muss ja kq≡0 mod n sein,
also n∣kq⇒kq= bn für ein b aus G.
Ebenso gilt dann q∣m⇒m=cq
Jetzt soll dieses q aber m sein.