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Satz: Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist falls G zyklisch ist auch immer U zyklisch.


Da G G zyklische Gruppe gϵG \exists g \epsilon G mit <g>=G <g>=G .

Sei G=<g>=ngn=e |G|=|<g>|=n \Rightarrow g^{n}=e \quad (e ∈ G das neutrale Element)

Und sei U Untergruppe mit U=m |U|=m

mnaϵG \Rightarrow m \mid n \Rightarrow \exists a \epsilon G \quad mit n=ma n=m^{*} a

Für jedes uϵUkϵG,gk=u u \epsilon U \quad \exists k \epsilon G, g^{k}=u

Wenn nun <u><muϵU |<u>|<m \forall u \epsilon U  wäre, so müsste ich irgendwie auf einen Widerspruch stoßen.

Klar ist, dass (gk)q=gkq=uq \left(g^{k}\right)^{q}=g^{k q}=u^{q} für ein q q aus G G .

Damit uq=gkq=e u^{q}=g^{k q}=e ist, muss ja kq0 k q \equiv 0 mod n n sein,

also nkqkq= n \mid \mathrm{kq} \Rightarrow \mathrm{kq}= bn für ein b \mathrm{b} aus G \mathrm{G} .

Ebenso gilt dann qmm=cq q \mid m \Rightarrow m=c q

Jetzt soll dieses q q aber m sein.

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Der Beweisversuch verwendet den Satz von Lagrange, das ist hier unnötig.

Sei G=<g>={e,g,g2,,glk1}G=<g>=\{ e,g,g^2,\ldots , g^{lk-1}\} wir wählen in U das Element glg^l mit kleinstem positiven l, d.h. l : =min{0<lk1glU} l:= min \{ 0<l \leq k-1 \mid g^l \in U \}.

Angenommen, es gibt ein x=gmU\<g> x=g^m \in U \backslash <g> dann ist lm l \nmid m , also m=λl+r m=\lambda l +r mit einem Rest r < l.

Das ist im Widerspruch zur Minimalität von l, daher existiert so ein x nicht.

U ist also zyklisch.

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