Integral von (1+e^x)/(1-e^x)

Question

Ich möchte folgendes Integral mittels Substitution lösen, komme nur nicht auf das richtige Ergebnis:

∫((1+e^x)/(1-e^x))dx

Answer 1

∫((1+e^x)/(1-e^x))dx

= ∫((1-e^x + 2e^x )/(1-e^x))dx

= ∫(1+2e^x/(1-e^x))dx

=∫1dx    +  ∫2e^x/(1-e^x))dx

= x    +  (-2)* ∫ -e^x/(1-e^x))dx  und das Integral ist von der Art  Integral f ' (x) / f(x)dx

alsowird daraus durch Substitution als Stammfunktion  ln(1-e^x)  .

Insgesamt dann x    +  (-2)* ln(1-e^x)

Comments

Habe meinen Fehler entdeckt.

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@mathef

Schön gemacht.
Alternativ könnte man auch als 1.Schritt eine Polynomdivison
durchführen, welche dann auch 1 + ( 2*e^x ) / (1-e^x) ergibt.

mfg Georg

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muss da in der dritten zeile nicht integral 1+e^x..... stehen?

sorry wenn es nicht so sein sollte

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2. Zeile war:   = ∫((1-e^x + 2e^x )/(1-e^x))dx

Die Idee ist: Ich mache 2 Brüche daraus:

= ∫((1-e^x) /(1-e^x) + (2e^x )/(1-e^x))dx

und der erste Bruch ist einfach nur 1, also

= ∫(   1     +        2e^x/(1-e^x)   )dx   und das jetzt auf zwei Integrale.

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be660 schrieb
= ∫(1+2e^x/(1-e^x))dx
muss da in der dritten zeile nicht integral 1+e^x..... stehen?

weil ausgegangen wurde von
∫ ((1+e^x)/(1-e^x))dx

Man beachte die Klammerungen.
Mathef hat etwas überflüssig aber nicht falsch geklammert.

∫(1+2e^x/(1-e^x))dx  = ∫ 1+2e^x/(1-e^x) dx

Jetzt wird der Bruch erkennbarer.