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Aufgabe:


$$\int_{0}^{x} \frac{1}{{e}^{2t} + 1 - {e}^{-t} \cosh{(t)}} dt$$

und

uneigentliches Riemann - Integral:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{e}^{2t} + 1 {-e}^{-t} \cdot \cosh{(t)}} dt$$

Problem/Ansatz:

1) Ich hätte hier e^t substituiert, jedoch komme ich dann für y = e^t auf

$$\int_{0}^{x} \frac{1}{y^2 + 1 - \frac{1}{y} \cdot (\frac{y+ \frac{1}{y}}{2})} \cdot \frac{1}{y} dy$$

$$2 * \int_{0}^{x} \frac{1}{(2y^2 + 2 - 1 - \frac{1}{y^2}) \cdot y} dy$$

Wie würde ich hier weiterrechnen ?

2) Wie würde man bei dem uneigentlichen Riemann-Integral vorgehen und was kommt dann als Ergebnis raus ?

von

2 Antworten

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Aloha :)

Als erstes würde ich den Nenner vereinfachen:$$\int\limits_0^x\frac{1}{e^{2t}+1-e^{-t}\cosh(t)}\,dt=\int\limits_0^x\frac{1}{e^{2t}+1-e^{-t}\cdot\frac{e^t+e^{-t}}{2}}\,dt=\int\limits_0^x\frac{1}{e^{2t}+1-\frac{1+e^{-2t}}{2}}\,dt$$$$\quad=\int\limits_0^x\frac{2}{2e^{2t}+1-e^{-2t}}\,dt$$Mit der folgenden Substitution:$$u:=e^{2t}\quad;\quad\frac{du}{dt}=2e^{2t}=2u\;\Rightarrow\;dt=\frac{du}{2u}\quad;\quad u(0)=1\quad;\quad u(x)=e^{2x}$$geht es dann mit dem Integral weiter:$$\quad=\int\limits_1^{e^{2x}}\frac{2}{2u+1-\frac{1}{u}}\,\frac{du}{2u}=\int\limits_1^{e^{2x}}\frac{1}{2u^2+u-1}\,du=\int\limits_1^{e^{2x}}\frac{1}{(2u-1)(u+1)}\,du$$Für den letzten Schritt oben "errät" man, dass \(u=-1\) eine Nullstelle des Nenners ist, dividiert daher den Nenner durch \((u+1)\) und erhält \((2u-1)\). Für die Partialbruchzerlegung betrachte:$$\frac{A}{2u-1}+\frac{B}{u+1}=\frac{A\cdot(u+1)+B\cdot(2u-1)}{(2u-1)(u+1)}=\frac{(A+2B)u+(A-B)}{(2u-1)(u+1)}$$Koeffizientenvergleich liefert:$$A+2B=0\;\land\;A-B=1\;\;\Rightarrow\;\;0=\underbrace{(B+1)}_{=A}+2B=3B+1\;\;\Rightarrow\;\; B=-\frac{1}{3}\;;\;A=\frac{2}{3}$$und wir können das Integral weiter bearbeiten:$$\quad=\int\limits_1^{e^{2x}}\left(\frac{2}{3(2u-1)}-\frac{1}{3(u+1)}\right)\,du=\frac{1}{3}\int\limits_1^{e^{2x}}\frac{2}{2u-1}\,du-\frac{1}{3}\int\limits_1^{e^{2x}}\frac{1}{u+1}\,du$$$$\quad=\frac{1}{3}\left[\ln(2u-1)\right]_1^{e^{2x}}-\frac{1}{3}\left[\ln(u+1)\right]_1^{e^{2x}}=\frac{1}{3}\left[\ln\left(\frac{2u-1}{u+1}\right)\right]_1^{e^{2x}}$$$$\quad=\frac{1}{3}\left[\ln\left(\frac{2(u+1)-3}{u+1}\right)\right]_1^{e^{2x}}=\frac{1}{3}\left[\ln\left(2-\frac{3}{u+1}\right)\right]_1^{e^{2x}}$$$$\quad=\frac{1}{3}\ln\left(2-\frac{3}{e^{2x}+1}\right)-\frac{1}{3}\ln\left(2-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}\ln\left(2-\frac{3}{e^{2x}+1}\right)+\frac{1}{3}\ln(2)$$$$\quad=\frac{1}{3}\ln\left(4-\frac{6}{e^{2x}+1}\right)$$Für \(x\to\infty\) verschwindet der Bruch und der Grenzwert beträgt \(\frac{1}{3}\ln(4)\approx0,4621\).

von 3,7 k

kurz, gibt es auch eine einfache Möglichkeit ?

Leider geht es kaum kürzer. Ich habe das Integral sehr ausführlich berechnet, damit der Weg klar wird. Du kannst ja vielleicht einige Umformungen weglassen, die dir sowieso klar sind...

Weil wir sowas mal als Klausuraufgabe hatten und ich mir nicht vorstellen kann,

dass es so lange dauert, da man neben dieser Aufgabe noch 5 andere hat.

Also:

Ich habe jetzt folgendes raus:

$$\int_{1}^{{e}^{2x}} \frac{1}{(2 \cdot y -1)(y+1)} dy $$

$$\int_{1}^{{e}^{2x}}( \frac{A}{2y - 1} - \frac{B}{y+1}) dy$$

$$\int_{1}^{{e}^{2x}}$$

Dann komme ich nach einsetzen der Grenzen auf:

$$F(x) = \frac{2}{3} \ln{(|2{e}^{2x} - 1|)} - \frac{1}{3} \ln{(|{e}^{2x}+1|)} + \frac{1}{3} \ln{(2)}$$

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Hallo,

1. Aufgabe :

Ich würde Dir empfehlen ,VOR der Integration zu vereinfachen,

also ich meine: e^(-t) cosh(t)

Ich habe bewußt " Deine " Substitution genommen, ich weiß das es auch anders geht.

Meine Rechnung:

B3.png

von 88 k

Wie bist du auf darauf gekommen, dass

$$2y^4 + y^2 - 1 = (2y^2 - 1)(y^2+1)$$ ist

Da wird es wortwörtlich 100 Mal erklärt ;)

Die Methode der ersten Beispiele ist sehr simple


Gruß

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