Grenzwert mit L'Hospital berechnen: lim(x→∞) (π/2 - arctan(x))1/ln(x)

Question

Ich komme nicht mit einem Grenzwert klar. Er soll mit L'Hospital berechnet werden.

$$\lim\limits_{x\to\infty} { \left(\frac { \pi }{ 2 } -\arctan{x}\right) }^{ \frac { 1 }{ \ln{x} } }=\exp\left( \frac { 1 }{ \ln{x} } \ln\left( \frac { \pi }{ 2 } -\arctan{x}\right)\right)$$ nur der Exponent. $$=\frac { 1 }{ \ln{x} } \ln\left(\frac { \pi }{ 2 } -\arctan{x}\right)=\frac { \ln\left(\frac{ \pi }{ 2 } -\arctan{x}\right)}{\ln{x}}$$ ist jetzt von Typ $\frac { -\infty }{\infty}$ also kann man L'Hospital anwenden.

$$\doteqdot \frac { \frac { 1 }{ \pi/2 -\arctan{x} } \left(0-\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }{ 1/x } =\frac { -\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{\pi/2 -\arctan{x} } }{1/x } =\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ \pi/2 -\arctan{x} }$$ und hier sitze ich nun fest. Es ist wieder ein Typ 0/0 doch die Ableitungen davon bringt mir auch nichts. Kennt jemand eine Lösung oder kann mir jemand sagen wo ich den Fehler gemacht habe.

Answer 1

bei dir ist das $\frac{1}{x}$ aus dem Nenner verschwunden,

Die letzte Gleichung ist demnach falsch und es müsst heißen:

$$...= \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{\pi}{2}-\arctan (x)}$$

Jetzt kannst du mit l'Hospital weiter machen.

Kontrolle: Der Grenzwert des Exponenten ist $-1$ und somit geht der anfangs betrachtete Ausdruck gegen $\frac{1}{e}$.

Gruß

Comments

Schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Du hast vollkommen Recht, das x habe ich vergessen. Aber dann kann ich ja dennoch kein L'Hospital anwenden.

$$-\frac { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ \frac { \pi }{ 2 } -arctan(x) }$$ ist ja von Typ $$\frac { \infty }{ 0 }$$

was ich gemacht habe war dann folgendes:

$$-\frac { \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } +{ x } } }{ \frac { \pi }{ 2 } -arctan(x) } \quad \text{Typ} \frac { 0 }{ 0 }$$

doch die Ableitung davon hat mich nicht weit gebracht.

$$\frac { \frac { \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } (1+{ x }^{ 2 }) }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } } =\frac { \frac { 1+{ 2x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } } =\frac { \frac { 1+{ 2x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ x }^{ 2 }+2 } =\frac { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ 2 }+1 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ x }^{ 2 }+2 }$$

Ich habe wahrscheinlich wieder irgendwo Misst gebaut.

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Hey dein Fehler liegt in der Annahme, das du kein l'Hospital mehr anwenden darfst:

$$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$$

Also geht der Zähler sehr wohl gegen 0 und nicht gegen $\infty$ ;)

Nachtrag:

Es ergibt sich dann ja

$$... = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{ \frac{ 1-x^2}{(1+x^2)^2}}{-\frac{1}{1+x^2} }$$

Hier kannst du kürzen und bist "fast" fertig. :)

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Hab das ursprüngliche Vorzeichen vergessen: es müsste heißen

$$... = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{ - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}}{-\frac{1}{1+x^2} }$$

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:-) verdammt, ich habe nur gesehen unendlich durch unendlich, aber das da 0 kommt nicht. Jetzt ging das natürlich. Ich schreibe den Weg noch mal auf.

$$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } { (\frac { \pi }{ 2 } -arctan(x)) }^{ \frac { 1 }{ ln(x) } }=\quad { e }^{ \frac { 1 }{ ln(x) } ln(\frac { \pi }{ 2 } -arctan(x)) }$$

nur der Exponent

$$\frac { 1 }{ ln(x) } ln(\frac { \pi }{ 2 } -arctan(x))\quad =\quad \frac { ln(\frac { \pi }{ 2 } -arctan(x)) }{ ln(x) } \quad \doteqdot \quad \frac { \frac { 1 }{ \frac { \pi }{ 2 } -arctan(x) } (0-\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ) }{ \frac { 1 }{ x } }$$

$$\frac { -\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ \frac { \pi }{ 2 } -arctan(x) } }{ \frac { 1 }{ x } } \quad =\quad \frac { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ \frac { \pi }{ 2 } -arcan(x) } \quad \doteqdot \quad \frac { -\frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } } }{ -\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \quad =\quad \frac { (1-{ x }^{ 2 })(1+x^{ 2 }) }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } }$$

ich weiß nicht ob ich ab hier ein längeren Weg gewählt, aber es hat mich zum Ziel geführt.

$$\frac { 1-{ x }^{ 4 } }{ { 1+2{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 4 } } } \quad =\quad \frac { \frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } -1 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } +\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } +1 } \quad \underset { x\rightarrow \infty }{ \longrightarrow \quad \frac { -1 }{ 1 } =-1 }$$

$$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } { (\frac { \pi }{ 2 } -arctan(x)) }^{ \frac { 1 }{ ln(x) } }=e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Ich hoffe das war richtig.

Gruß und vielen Dank

Anderlin

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Kein Problem ist alles richtig jetzt :).

An der einen Stelle hättest du noch $(1+x^2)$ kürzen können, aber viele Umstände hat dir das ja jetzt nicht bereitet :)