Uneigentliches Integral: von 0 bis ∞ ∫xe^ (-x2) dx

Question

Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme

Berechne das uneigentliche Integral:

von 0 bis ∞ ∫xe^-x2 dx

da steht -x², konnte es nicht noch einmal hoch schreiben hier

Answer 1

Substituiere $t=-x^2$.

Answer 2

EDIT: Wenn du nach dem Caret-Zeichen einen Abstand einfügst, kannst du den Exponenten in Klammern mit einem Quadrat anfügen. (Vgl. Überschrift).

Nun zum Integral. Substituiere u = x²

du/dx = 2x

du/(2x) = dx

von 0 bis ∞ ∫xe^-x2 dx         |dx einsetzen

=  ∫xe^-u du/(2x)           |kürzen mit x

=0.5 ∫e^-u du

= -0.5 (e^-u) |

=-0.5 e^ (-x²) |_o∞

= -0.5*0 + 0.5*e⁰

= 0.5 

Anmerkung: Ich schreibe die blaue Zeile immer mit, um sicher zu gehen, dass der Übergang von dx nach du richtig kommt. Allerdings ist diese Zeile wegen der Mischung von u und x nicht ganz korrekt. Sollte das x nicht wegfallen, gelingt die Substitution nicht.

Comments

Man sollte das uneigentliche Integral ersetzen durch $\lim_{c\to\infty}\int_0^c \! xe^{-x^2} \, dx$, dann das bestimmte Integral $\int_0^c \! xe^{-x^2} \, dx$ berechnen und zum Schluss den Grenzwert für $c\to\infty$ berechnen.
Die Zeile $\left. -0,5e^{-x^2}\right|_0^\infty$ ist nämlich auch nicht ganz korrekt (bzw. notationstechnisch problematisch).

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Nick. Danke für den Hinweis. Notationstechnisch hast du recht. Aber da e^ (-x²) einen endlichen Grenzwert hat, kommt das hier schon richtig.

Answer 3

Die aufzuleitende Funktion kann nur aus einer
Stammfunktion mit e-Funktion kommen.

Ich leite die angegebene e-Funktion dann immer probeweise
einmal ab.

mfg Georg