Lösen von Differentialgleichungen: y´´-4y´+4y=0

Question

y´´-4y´+4y=0 zunächst allgemein und dann für die anfangsbedingungen y(0)=0, y´(0)=0

wie löse ich das?

Answer 1

Bei DGLs in dieser Form wählen wir als Ansatz eine Lösung der Form :
$$ { e }^{ \lambda x }$$

Also setzen wir das mal in die DGL ein :

$${ (e }^{ \lambda x })''-4({ e }^{ \lambda x })'+4{ e }^{ \lambda x }=0$$

Das ergibt :

$${ { \lambda  }^{ 2 }e }^{ \lambda x }-4\lambda { e }^{ \lambda x }+4{ e }^{ \lambda x }=0$$

Jetzt ausklammern :

$${ { (\lambda  }^{ 2 } }-4\lambda +4){ *e }^{ \lambda x }=0$$
Also müssen wir :
$${ { (\lambda  }^{ 2 } }-4\lambda +4)=0$$
Lösen:

$${ { { (\lambda  }-2) }^{ 2 } }=0$$

Macht :
$${ { { \lambda  } } }=\quad 2$$
Und das als doppelte Nullstelle des Polynoms :
Also haben wir als Lösungen :
$$ { y }_{ 1 }={ c }_{ 1 }{ e }^{ 2x }  \quad und \quad { y }_{ 2 }={ c }_{ 2}{ e }^{ 2x } x $$

Jetzt addieren wir beide Lösungen :

$${ y }={ c }_{ 1 }{ e }^{ 2x }{ y }+{ c }_{ 2 }{ e }^{ 2x }x$$

Jetzt kannst du mit deinen Anfangsbedingungen c1 und c2 bestimmen.

EDIT: Kenn dir leider nicht sagen,warum man die zweite Lösung mit x multipliziert,wenn man mehrfach den selben Wert für Lambda hat, so haben wir das in der Übung gemacht,müsste also richtig sein.

Comments

Zu meinem EDIT:

http://www.mi.uni-koeln.de/~flapp/Skript12-09und11.pdf

Habe  Satz 4.3.5 benutzt.

Also habe ein Fundamentalsystem gebildet.

Answer 2

Das charakteristische Polynom ist $$\lambda^2-4\lambda+4=0 \Rightarrow (\lambda-2)^2=0 \Rightarrow \lambda_{1, 2}=2$$

Also ist das λ eine mehfache Lösung.

Also die Lösung der Differentialgleichung ist: $$y(x)=c_1 e^{\lambda x}+c_2 xe^{\lambda x}=c_1 e^{2x}+c_2 xe^{2x}$$

Mit den Anfangsbedingungen haben wir: $$y(0)=0 \Rightarrow c_1=0 \Rightarrow y(x)=c_2 x e^{2x} \\ y'(x)=c_2e^{2x}+2c_2xe^{2x} : y'(0)=0 \Rightarrow c_2=0$$ 

Also ist die Lösung der Differentialgleichung die folgende: $$y(x)=0$$