Aufstellen von Funktionsgleichung: f (x) = a x e^{bx} so dass H(-1; e^{-1})

Question

Ich habe ein Problem damit, eine Funktionsgleichung zu bestimmen:

K ist der Graph der Funktion f mit f (x) = a x e ^bx     (x Element R; a und b Element R).

K hat den Hochpunkt H (-1 ; e^-1).

Wie bestimme ich nun a und b?

Ich weiß, dass ich zuerst die erste Ableitung bilden muss, bin mir aber nicht sicher, ob die richtig ist:

f ' (x) = b x a x e^bx = abx²e^bx  ?

Und nun?

f ' (-1) = 0 -> a b e^{-b  = 0}

f (-1) = e^-1 -> - a x e ^-b = e^-1

Stimmt das überhaupt? Und wie muss ich weitermachen?

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Comments

f (x) = a x e ^bx 

Ist das erste x ein Multiplikationszeichen?

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Nein das x ist nicht das Multiplikationszeichen. :)

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Ich glaube wenn das ein Multiplikationszeichen ist dann gäbe es keinen Extrempunkt.

Daher gehe ich mal davon aus das soll auch ein x sein.

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Die erste Ableitung hat mich halt gewundert.

Answer 1

f (x) = ax e ^bx 

f '(x) = a*e^{bx} + ax* b* e^{bx} = (a + abx)* e^{bx}

Extremalstelle?  

(a + abx) = 0     | a≠0 

a(1 + bx) =0

bx = -1

x = -1/b ist eine Extremalstelle deiner Funktion.

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f (x) = a x e ^bx     (x Element R; a und b Element R).

K hat den Hochpunkt H (-1 ; e^-1).

Wie bestimme ich nun a und b?

H ist ein Punkt auf der Kurve!

f(-1) = a*(-1) * e^{-b} = e^{-1}

Nun die Ableitung muss Null sein.

f '(x) = a*e^bx + ax* b* e^bx

^{f '(-1) = a*e^{-b} - abe^{-b} = 0}

^{(a - ab)e^{-b} = 0}

^{b = 1}

a*(-1) * e^{-1} = e^{-1} 

==> a = -1.

Mein Vorschlag:

f(x) = -x*e^x

Rechne mal nach und kontrolliere mit einem Funktionsplotter.

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Oh vielen Dank für die super Antwort! Die Begründungen und wie du es aufgeschrieben hast haben mir echt sehr geholfen!

Durch Nachrechnen habe ich jetzt auch alles nachvollziehen können :)

Was ein Funktionssplotter ist weiß ich nicht, aber ich habe eine Tabelle am Taschenrechner gemacht und es sieht verdächtig nach Hochpunkt aus ;)

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Bitte. Freut mich.

Ein einfacher Funktionsplotter ist der hier: https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/

Answer 2

f(x) = a·x·e^{b·x}

f'(x) = a·e^{b·x}·(b·x + 1)

f'(-1) = a·e^{b·(-1)}·(b·(-1) + 1) = 0 --> b = 1

f(-1) = a·(-1)·e^{(1)·(-1)} = 1/e --> a = -1

f(x) = -x·e^{x}

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Dankeschön für deine Antwort!

Answer 3

Deine Ableitung ist falsch. Es muss mit Produktregel  abgeleitet werden: die Ableitung lautet:

$$ f'(x)= (1+bx)ae^{bx} $$

setzt Du dies nun gleich null hilft die Regel "ein Produkt ist Null , wenn einer der Faktoren Null ist" weiter.

Demnach setzt Du nun den Klammerausdruck gleich Null und siehst binnen Nanosekunden ein, dass dies nur dann möglich ist, fall bx=-1 also falls x = -1/b ist. Setzt Du den Term mit e gleich null kann dies nur für a=0 gelten da e hoch irgendwas nie Null wird. Allerdings besteht zwischen a und x dabei keine Verbindung, a=0 ist also eine triviale Lösung, dann falls a=0 existiert die Funktion ja gar nicht.

Die ist also x= -1/b, und kann für beliebiges b aus ℝ entsprechend ermittelt werden.

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Achja die Produktregel....  Dankeschön!!