Grenzwert mittels Potenzreihenentwicklung berechnen. Hilfe bei Umformung?!

Question

Ich muss den folgenden Grenzwert mittels Potenzreihenentwicklung berechnen:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x }-2 }{ x-\ln { (1+x } ) } }$$

Soweit ist das gar kein Problem, schwierig wird das nur wenn ich die Reihen vereinfache.

Folgende Reihen bekomme ich:

$$\left( \frac { (1+x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +(...))+(1-x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } -+(...))-2 }{ x-(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +-(...)) } \right)$$

 Nach einigen Schritten Kürzen bekomme ich folgendes Ergebnis:

$$\left( \frac { (\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } (...))+(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } (...)) }{ (\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } (...)) } \right)$$

Soweit so gut, nun fasse ich oben die Terme zusammen:

$$\frac { { x }^{ 2 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } }$$

Aber wie fahre ich jetzt weiter fort? ich hab mich da total festgefahren.

Die Lösung besagt:

$$\frac { { x }^{ 2 }+{ x }^{ 4 }(...) }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -{ x }^{ 4 }(...) }$$

Aber ich komme nicht auf das ergebnis. Vielleicht übersehe ich ja etwas, aber wenn ich die beiden x⁴ Terme vom Zähler zusammenfasse, dann kommt doch das folgende raus:

$$\frac { { 2x }^{ 4 } }{ 4! }$$

(ohje wenn das falsch ist dann ists echt peinlich) Ich verrenne mich bestimmt irgendwo und es ist vermutlich total banal eigentlich aber ich komme nicht weiter...

Answer 1

2x⁴/4! ist doch x⁴ *(2/4!... )

Also x⁴ * (eine Konstante + etwas mit x).

In der Nähe von 0 darfst du das dann vermutlich weglassen. Oder?

Comments

ich habe keine Ahnung on ich das dann einfach weglassen darf. :(

das erklärt aber auch nicht wie der im Nenner auf die x⁴ kommt.. Vill weißt du da was?

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x⁴/4 = x⁴*(1/4 + ...)

und dann würde ich einfach mit

x²/(x²/2 - x³/3) weiterfahren| Oben und unten durch x²

= 1/(1/2 - x/3)      | Jetzt Grenzwert x->0

--------> 1/(1/2 -0) = 2

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also kann man wirklich die Terme die gegen 0 gehen vernachlässigen??

Dann macht das ganze auch sinn :D