Berechnen Sie alle Fourier-Koeffzienten an und bn zur Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle Fourier-Koeffizienten \( a_{n} \) und \( b_{n} \) zur Funktion

\( [-\pi, \pi] \ni x \rightarrow\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } x \leq 0 \\ x & \text { falls } x>0 \end{array}\right. \)

welche \( 2 \pi \)-periodisch auf \( \mathbb{R} \) fortgesetzt werden kann.

Answer 1

Hi,
die Fourierkoeffizienten berechnen sich wie folgt
$$ a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \cdot cos(kt) dt $$ und
$$ b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \cdot sin(kt) dt $$
für die gegebene Funktion reduziert sich Berechnung auf
$$ a_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi t \cdot cos(kt) dt $$ und
$$ b_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi t \cdot sin(kt) dt $$
da die Funktion links von \( 0 \) Null ist und rechts davon \( f(t) = t \) gilt.
Damit ergiben sich die Koeffizienten zu
$$ a_k = \frac{sin(\pi k)}{k} + \frac{2 \left[cos\left( \frac{\pi k}{2} \right)^2 - 1 \right] }{\pi k^2} $$ und
$$ b_k = \frac{sin(\pi k) - \pi k \cdot cos(\pi k )}{\pi k^2}  $$

Die Funktion \( f(t) \) hat dann die Darstellung
$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left[ a_k \cdot cos(kt) + b_k \cdot sin(kt)  \right]  $$

Die Integrale findet Du in dieser Tabelle
http://www2.hs-esslingen.de/~kamelzer/ss09/Integraltabelle.pdf

Für die ersten 20 Koeffizienten sieht die Approximation so aus