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Schreibe bald eine klausur in Ana 1

ich vertsteh das überhaupt nicht mit den Treppenfunktionen und dem riemann-Integral.

Kann mir jemand  vielleicht jeweils eine "gute" definition und ein Beispiel geben

wäre für jede hilfe dankbar :)

von

1 Antwort

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nimm doch mal die Funktion \( f(x) = x \) und berechne die Ober- und Untersummen und zeige, dass das Integral \( \frac{x^2}{2} \) ist. Poste die lösung hier, dann kann man Dir die Fehler zeigen falls es welche gibt.

von 25 k

ehrlich gesagt habe ich garkeine ahnung wie rangehe soll :/

so hab jetzt mal versucht nen ansatz zu machen

f(x)=x

z.b. betrachte ich die funktion im interval 2 und 3  mit 4 teilintervall

als obersumme habe ich 2,625 rausbekommen und davon hab ich 1/8     ((1/4 *1/4)/2)*4)  abgezogen und hab dann 2,5 raus



ist das richtig so ?

Hi,
also Du must zum einen erst mal das Integral definieren, dass Du lösen willst und die Definition der Ober- und Untersummen für das Riemannintegral benutzen. Ich wähle als Beispiel das Integral $$ \int_0^x f(t) dt $$ mit \( f(t) = t \)
Die Obersumme ist definiert als
$$ O(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right)  \sup_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right]  $$ für eine beliebige Zerlegung \( Z \) und die Untersumme ist definiert als
$$ U(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right)  \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right]  $$ ebenfalls für eine beliebige Zerlegung.
Ich wähle eine äquidistante Zerlegung, also \( x_k = k \cdot \frac{x}{n} \). Damit wird die Obersumme
$$ O(Z) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{x}{n} \cdot k \cdot \frac{x}{n}  \right) = \frac{x^2}{n^2} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2} = \frac{x^2}{2} \cdot \left(  1 + \frac{1}{n} \right) \xrightarrow[ {n \to\infty} ]{}  \frac{x^2}{2} $$
Ähnlich musst Du argumentieren für die Untersumme, das ist $$ \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) = (k-1) \cdot \frac{x}{n} $$
Auch diese Untersumme geht gegen \( \frac{x^2}{2} \)
Jetzt musst man nur noch argumentieren, warum die speziell von mir gewählte Zerlegung hinreichend ist.
In Summe hat man dann bewiesen, dass im Riemanschen Sinne gilt
$$ \int_0^x t \cdot dt = \frac{x^2}{2}  $$ gilt.

:/

jetzt bin ich total verwirrtt ::(

könntest du mir erstmal ein ganz einfaches beispiel für eine treppenfunktion geben ?

Ja einfacher geht's fast nicht, tut mir leid. Wenn Du Riemann Integrale verstehen willst, dann solltest Du das nachvollziehen.

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