Hi,
also Du must zum einen erst mal das Integral definieren, dass Du lösen willst und die Definition der Ober- und Untersummen für das Riemannintegral benutzen. Ich wähle als Beispiel das Integral $$ \int_0^x f(t) dt $$ mit \( f(t) = t \)
Die Obersumme ist definiert als
$$ O(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \sup_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right] $$ für eine beliebige Zerlegung \( Z \) und die Untersumme ist definiert als
$$ U(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right] $$ ebenfalls für eine beliebige Zerlegung.
Ich wähle eine äquidistante Zerlegung, also \( x_k = k \cdot \frac{x}{n} \). Damit wird die Obersumme
$$ O(Z) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{x}{n} \cdot k \cdot \frac{x}{n} \right) = \frac{x^2}{n^2} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2} = \frac{x^2}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \xrightarrow[ {n \to\infty} ]{} \frac{x^2}{2} $$
Ähnlich musst Du argumentieren für die Untersumme, das ist $$ \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) = (k-1) \cdot \frac{x}{n} $$
Auch diese Untersumme geht gegen \( \frac{x^2}{2} \)
Jetzt musst man nur noch argumentieren, warum die speziell von mir gewählte Zerlegung hinreichend ist.
In Summe hat man dann bewiesen, dass im Riemanschen Sinne gilt
$$ \int_0^x t \cdot dt = \frac{x^2}{2} $$ gilt.
