Hilfe bzw. beispiele für Treppenfunktionen

Question

Schreibe bald eine klausur in Ana 1

ich vertsteh das überhaupt nicht mit den Treppenfunktionen und dem riemann-Integral.

Kann mir jemand  vielleicht jeweils eine "gute" definition und ein Beispiel geben

wäre für jede hilfe dankbar :)

Answer 1

nimm doch mal die Funktion $f(x) = x$ und berechne die Ober- und Untersummen und zeige, dass das Integral $\frac{x^2}{2}$ ist. Poste die lösung hier, dann kann man Dir die Fehler zeigen falls es welche gibt.

Comments

ehrlich gesagt habe ich garkeine ahnung wie rangehe soll :/

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so hab jetzt mal versucht nen ansatz zu machen

f(x)=x

z.b. betrachte ich die funktion im interval 2 und 3  mit 4 teilintervall

als obersumme habe ich 2,625 rausbekommen und davon hab ich 1/8     ((1/4 *1/4)/2)*4)  abgezogen und hab dann 2,5 raus

ist das richtig so ?

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Hi,
also Du must zum einen erst mal das Integral definieren, dass Du lösen willst und die Definition der Ober- und Untersummen für das Riemannintegral benutzen. Ich wähle als Beispiel das Integral $$\int_0^x f(t) dt$$ mit $f(t) = t$
Die Obersumme ist definiert als
$$O(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \sup_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right]$$ für eine beliebige Zerlegung $Z$ und die Untersumme ist definiert als
$$U(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right]$$ ebenfalls für eine beliebige Zerlegung.
Ich wähle eine äquidistante Zerlegung, also $x_k = k \cdot \frac{x}{n}$. Damit wird die Obersumme
$$O(Z) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{x}{n} \cdot k \cdot \frac{x}{n} \right) = \frac{x^2}{n^2} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2} = \frac{x^2}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \xrightarrow[ {n \to\infty} ]{} \frac{x^2}{2}$$
Ähnlich musst Du argumentieren für die Untersumme, das ist $$\inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) = (k-1) \cdot \frac{x}{n}$$
Auch diese Untersumme geht gegen $\frac{x^2}{2}$
Jetzt musst man nur noch argumentieren, warum die speziell von mir gewählte Zerlegung hinreichend ist.
In Summe hat man dann bewiesen, dass im Riemanschen Sinne gilt
$$\int_0^x t \cdot dt = \frac{x^2}{2}$$ gilt.

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:/

jetzt bin ich total verwirrtt ::(

könntest du mir erstmal ein ganz einfaches beispiel für eine treppenfunktion geben ?

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Ja einfacher geht's fast nicht, tut mir leid. Wenn Du Riemann Integrale verstehen willst, dann solltest Du das nachvollziehen.