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Schreibe bald eine klausur in Ana 1

ich vertsteh das überhaupt nicht mit den Treppenfunktionen und dem riemann-Integral.

Kann mir jemand  vielleicht jeweils eine "gute" definition und ein Beispiel geben

wäre für jede hilfe dankbar :)

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nimm doch mal die Funktion f(x)=x f(x) = x und berechne die Ober- und Untersummen und zeige, dass das Integral x22 \frac{x^2}{2} ist. Poste die lösung hier, dann kann man Dir die Fehler zeigen falls es welche gibt.

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ehrlich gesagt habe ich garkeine ahnung wie rangehe soll :/

so hab jetzt mal versucht nen ansatz zu machen 

f(x)=x 

z.b. betrachte ich die funktion im interval 2 und 3  mit 4 teilintervall 

als obersumme habe ich 2,625 rausbekommen und davon hab ich 1/8     ((1/4 *1/4)/2)*4)  abgezogen und hab dann 2,5 raus 



ist das richtig so ? 

Hi,
also Du must zum einen erst mal das Integral definieren, dass Du lösen willst und die Definition der Ober- und Untersummen für das Riemannintegral benutzen. Ich wähle als Beispiel das Integral 0xf(t)dt \int_0^x f(t) dt mit f(t)=t f(t) = t
Die Obersumme ist definiert als
O(Z)=k=1n[(xkxk1)supxk1xxkf(x)] O(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \sup_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right] für eine beliebige Zerlegung Z Z und die Untersumme ist definiert als
U(Z)=k=1n[(xkxk1)infxk1xxkf(x)] U(Z) = \sum_{k=1}^n \left[ \left( x_k - x_{k-1} \right) \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \right] ebenfalls für eine beliebige Zerlegung.
Ich wähle eine äquidistante Zerlegung, also xk=kxn x_k = k \cdot \frac{x}{n} . Damit wird die Obersumme
O(Z)=k=1n(xnkxn)=x2n2(n+1)n2=x22(1+1n)nx22 O(Z) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{x}{n} \cdot k \cdot \frac{x}{n} \right) = \frac{x^2}{n^2} \cdot \frac{(n+1) \cdot n}{2} = \frac{x^2}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \xrightarrow[ {n \to\infty} ]{} \frac{x^2}{2}
Ähnlich musst Du argumentieren für die Untersumme, das ist infxk1xxkf(x)=(k1)xn \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) = (k-1) \cdot \frac{x}{n}
Auch diese Untersumme geht gegen x22 \frac{x^2}{2}
Jetzt musst man nur noch argumentieren, warum die speziell von mir gewählte Zerlegung hinreichend ist.
In Summe hat man dann bewiesen, dass im Riemanschen Sinne gilt
0xtdt=x22 \int_0^x t \cdot dt = \frac{x^2}{2} gilt.

:/

jetzt bin ich total verwirrtt ::( 

könntest du mir erstmal ein ganz einfaches beispiel für eine treppenfunktion geben ?

Ja einfacher geht's fast nicht, tut mir leid. Wenn Du Riemann Integrale verstehen willst, dann solltest Du das nachvollziehen.

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