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Gegeben sind zwei Anfangswertprobleme

\( \frac{d \vec{y}(t)}{d t}=A \vec{y}(t), \quad \vec{y}(0)=\overrightarrow{y_{0}} \)

Gesucht ist jeweils die Lösung \( \vec{y}(t) \).

a) \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) und \( \overrightarrow{y_{0}} \in \mathbb{R}^{2} \) sind im Applet gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie den Startvektor \( \overrightarrow{y_{0}} \) als Linearkombination von Eigenvektoren von \( A \) darstellen.

b) \( A \in \mathbb{R}^{3,3} \) und \( \overrightarrow{y_{0}} \in \mathbb{R}^{3} \) sind im Applet gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie den Startvektor \( \overrightarrow{y_{0}} \) als Linearkombination von Eigenvektoren von \( A \) darstellen.


Aufgabe a)

\( A=\left[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{array}\right], \quad \overrightarrow{y_{0}}=\left[\begin{array}{c} -1 \\ -3 \end{array}\right] \)

\( \vec{y}_{0} \) als Linearkombination von Eigenvektoren:

 \( \vec{y}_{0}=? \)

Anzahl Summanden: ...


\( \vec{y}(t)=\left[ \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \right] \)

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1 Antwort

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mit det(A-x*E)=0 erhältst du Eigenwerte 0 und  - 1.

und dazu die Eigenvektoren: zu 0 sind alle  ( 2t ; 3t)

und zu 1 alle   (s ; 2s )

und (-1 ; -3 ) = ( 2t ; 3t) + (s ; 2s ) gibt

2t+s = -1   und  3t + 2s = -3 also t=1 und s=-3

also  (-1 ; -3 ) = 1*( 2 ; 3) + (-3)*(1 ; 2 ) ist die ges. Darstellung.

Avatar von 287 k 🚀

ist das so richtig

Bild Mathematik

Ich denke ja.

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