Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge der lineare Unterraum ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge der lineare Unterraum

\( U=\operatorname{span}\left((2,1,0,-3)^{t},(-1,3,1,1)^{t},(0,7,2,-1)^{t}\right) \)

ist.

Answer 1

Da du einen Unterraum von R^4 hast, hat das Gleichungssystem 4 Variablen
und ist homogen. ( Also hinter dem = alles Nullen)
Eine Basis von U besteht aus den ersten beiden angegebenen Vektoren.
(Kannst du ausrechnen durch Stufenform der Matrix.)
Also dim(U)=2 und wegen 4 Variablen brauchst du also 2 lin. unabh. Gleichungen.
wie z.B.
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0

Jetzt nimmst du deine beiden Basisvektoren und setzt die für die x'e ein un d
kannst dann mögliche Werte für die a1,a2,a3 ... bestimmen. Es gibt nat. viele
Möglichkeiten, aber du brauchst ja nur eine.

Ebenso für die 2. Gleichung, musst nur darauf achten, dass diese kein
Vielfaches der ersten ist.