Nullstelle der ganzrationalen Funktion bestimmen: f(x) = x5 - x4 - 5x3 + 3x2 + 6x

Question

Ich muss von der ganzrationalen Funktion: f(x) = x⁵ - x⁴ - 5x³ + 3x² + 6x die Nullstellen bestimmen.

Dabei muss ich das, wie ich verstanden habe, ausmultiplizieren und gleich Null setzen.

Ich habe aber schon beim ersten Schritt Probleme und würde mich echt freuen, wenn jemand helfen könnte :)

Answer 1

Hi,

genau das ist Deine Aufgabe: f(x)=0 zu finden:

f (x) = x⁵ - x⁴ - 5x³ + 3x² + 6x

 

Für die erste Nullstelle klammere x aus:

f (x) = x⁵ - x⁴ - 5x³ + 3x² + 6x=x(x⁴ - x³ - 5x² + 3x + 6)

 

Dann ist zweifache Polynomdivision angesagt. Denn ein Produkt wird dann Null, wenn es mindestens ein Faktor wird. x₁=0 ist sofort zu sehen, aber eben die Polynomdivision für den hinteren Ausdruck:

Divisoren sind (x+1) oder (x-2)

(x⁴ - x³ - 5x² + 3x + 6)/(x+1)=x³-2x²-3x+6

 

Und das wiederum vereinfachen mit einer weiteren Polynomdivision:

(x³-2x²-3x+6)/(x-2)=x²-3

 

Die Nullstellen sind somit x₁=0, x₂=-1, x₃=2, x₄=√3 und x₅=-√3, wobei sich letztere beiden aus x²-3=0 ergeben.

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Wo kann ich denn sehen, dass x₁ = 0 ist?

Und wie komme ich auf die Divisoren (ich habe allgemein große Probleme mit der Polynomdivision)?

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x₁=0 erkennst Du daran, dass x ein gemeinsamer Faktor aller Summanden ist und deshalb ausgeklammert werden kann. Der ausgeklammerte Faktor wird genau dann 0, wenn x=0 ist. Und damit wird auch das ganze Produkt 0 ;).

 

Wegen den Divisioren: Hier "rätst" Du eine Nullstelle. D.h. Du setzt gewisse Zahlen ein und schaust, ob das Problem 0 wird. Ist das der Fall, hast Du eine Nullstelle und damit auch einen Divisor gefunden.

 

Nachtrag: Wenn noch was unklar ist, antworte ich Dir gerne morgen Früh. Jetzt erstmal im Bett. gn8

Answer 2

Eine Nullstelle ist leicht: da jeder Summand ein x beeinhaltet, ist x=0 eine Nullstelle.

Suchen wir also weitere Nullstellen von f(x)/x:

x⁴ - x³ - 5x² + 3x + 6 = 0

Durch Ausprobieren stellt man fest, dass auch x=2 eine Lösung ist, denn

2⁴ - 2³ - 5*2² + 3*2 + 6 = 16 - 8 - 20 + 6 + 6 = 0

Dann kann man eine Polynomdivision durchführen:

(x⁴ - x³ - 5x² + 3x + 6)/(x - 2) = x³ + x² - 3x - 3
 x⁴ - 2x³
          x³ - 5x²
          x³ - 2x²
                 -3x² + 3x
                 -3x² + 6x
                            -3x + 6
                            -3x + 6
                                      0

Wir suchen also weitere Nullstellen von

x³ + x² - 3x - 3 = 0

Wiederum durch Raten finden wir die Nullstelle x = -1:

(-1)³ + (-1)² -3*(-1) - 3 = -1 + 1 + 3 - 3 = 0

Also wieder eine Polynomdivision:

(x³ + x² - 3x - 3)/(x+1) = x² - 3
 x³ + x²
            0   - 3x - 3
                 - 3x - 3
                           0
Damit bleiben noch die Lösungen x_3/4 = ±√3

Und wir haben die Lösungsmenge: L = {±√3, -1, 2, 0}